Question

【題目】已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)．

（1）請寫出函數(shù)與函數(shù)在的單調(diào)區(qū)間（只寫結(jié)論，不證明）；

（2）求函數(shù)的最值；

（3）討論方程實根的個數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；（2）最小值，最大值；（3）當時，方程實根個數(shù)為，當時，方程實根個數(shù)為，當時，方程實根個數(shù)為，當時，方程實根個數(shù)為，當時，方程實根個數(shù)為.

【解析】

試題分析：（1）令，通過類比可知的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，同理，令，通過類比可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；（2）化簡，由（1）可知，與均在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由此求得最大值和最小值；（3）對原方程因式分解得，所以或，下面對進行分類討論函數(shù)的零點的情況.

試題解析：

（1）根據(jù)條件，

的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，

函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；

（2），

由（1）可知，與均在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

則有函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，

；

（3）由可得，所以有或，又函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，而，

所以當時，方程無實數(shù)根；

當時，有一個實數(shù)根；

當，且即，方程有兩個實數(shù)根；

當，方程有三個實數(shù)根；

當時，方程有四個實數(shù)根，

綜上，①當時，方程實根個數(shù)為0；

②當時，方程實根個數(shù)為1；

③當時，方程實根個數(shù)為2；

④當時，方程實根個數(shù)為3；

⑤當時，方程實根個數(shù)為4．