Question

設(shè)非零復(fù)數(shù)x、y滿足x²+xy+y²=0，則代數(shù)式(

x

x+y

)2008+(

y

x+y

)2008的值是

-1

．

Answer 1

分析：將已知方程兩邊同除以y²變形解得

x

y

= -

1

2

 ±

3

2

i=ω，利用ω³=1，1+ω=-ω²，及2005=3×668+1 化簡(jiǎn)原式可得答案．

解答：解：將已知方程變形為　 (

x

y

)2+

x

y

+1=0，解這個(gè)一元二次方程，
得

x

y

= -

1

2

 ±

3

2

i=ω，
顯然有ω³=1，1+ω=-ω²，而 2008=3×669+1，
則原式=（

x

x+y

）²⁰⁰⁸+（

y

x+y

）²⁰⁰⁸ =

ω2008

(1+ω )2008

+

1

(1+ω )2008

=

ω

(-ω2)2008

+

1

(-ω2)2008

=-1
故答案為：-1

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)乘法的棣莫弗公式的應(yīng)用，實(shí)系數(shù)一元二次方程在判別式小于0時(shí)的方程的解法，本題解題的關(guān)鍵是理解所應(yīng)用的定理，本題是一個(gè)中檔題目．