Question

已知直線l過拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點且與C的對稱軸垂直，l與C交于A、B兩點，P為C的準線上一點，且S_△ABP=36，則拋物線C的方程為

y²=16x

．

Answer 1

分析：用p表示拋物線的焦點坐標和準線方程，求出通徑長，直接由桑僥幸的面積公式求p，則答案可求．

解答：解：拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點坐標為F（

p

2

，0），準線方程為x=-

p

2

．
與C的對稱軸垂直的直線l與C交于A、B兩點，則|AB|=2p．
又P為C的準線上一點，∴P到AB的距離為p．
則S_△ABP=

1

2

×2p×p=p2=36，∴p=6．
∴拋物線C的方程為y²=16x．
故答案為y²=16x．

點評：本題考查了拋物線的簡單幾何性質，考查了直線與圓錐曲線的關系，屬中檔題．