Question

已知函數(shù)f(x)=

( 1 2 )|x|- 1 4 ，x≤0 |log2(x-1)|，x＞1

．
（1）在下面給定的坐標(biāo)系中作出函數(shù)f（x）的圖象；
（2）寫出函數(shù)f（x）的零點(diǎn)和值域；
（3）若關(guān)于x的方程f（x）=k有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由所給的函數(shù)的解析式，把它化為分段函數(shù)的形式，從而畫出 f（x） 的圖象．
（2）結(jié)合函數(shù)f（x）的圖象，數(shù)形結(jié)合得出f（x）的零點(diǎn)和值域．
（3）由題意可得，函數(shù)f（x） 的圖象和直線y=k有2個(gè)不同的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求得實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答：解：（1）由函數(shù)的解析式可得 f（x）=

2x-  1 4  ， x≤0 -log2(x -1)， 1＜x＜2 log2(x-1) ， x≥2

，它的圖象如圖所示：

（2）由函數(shù)f（x）的圖象可得函數(shù)的零點(diǎn)為 x=-2和 x=2，值域?yàn)椋?

1

4

，+∞）．
（3）若關(guān)于x的方程f（x）=k有兩個(gè)不同的實(shí)根，則函數(shù)f（x） 的圖象和直線y=k有2個(gè)不同的交點(diǎn)，
故k＞

3

4

，故實(shí)數(shù)k的取值范圍為（-

3

4

，+∞）．

點(diǎn)評：本題主要考查對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)以及應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)的定義，函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．