Question

已知函數(shù)f（x）=

a

x

+lnx，g（x）=

1

2

bx2-2x+2，a，b∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）記函數(shù)h（x）=f（x）+g（x），當(dāng)a=0時(shí)，h（x）在（0，1）上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求f（x）的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)大于0時(shí)f（x）是增函數(shù)，導(dǎo)數(shù)小于0時(shí)f（x）是減函數(shù)，得出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）a=0時(shí)求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，由h（x）在（0，1）上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，得h′（x）=0，即p（x）=bx²-2x+1在（0，1）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，解得b的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=

a

x

+lnx的定義域是（0，+∞），且f′（x）=-

a

x2

+

1

x

=

x-a

x2

；
∴①若a≤0，則f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
②若a＞0，令f′（x）=0，得x=a，
當(dāng)0＜x＜a時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x＞a時(shí)，f′（x）＞0，
∴（0，a）是f（x）的單調(diào)減區(qū)間，（a，+∞）是f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞），
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（0，a），單調(diào)增區(qū)間是（a，+∞）；
（Ⅱ）a=0時(shí)，h（x）=f（x）+g（x）=

1

2

bx²-2x+2+lnx，
∴h′（x）=bx-2+

1

x

=

bx2-2x+1

x

，
∵h(yuǎn)（x）在（0，1）上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，
由h′（x）=0，得bx²-2x+1=0；
設(shè)p（x）=bx²-2x+1，
即p（x）在（0，1）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且p（0）•p（1）＜0，
即（b×0²-2×0+1）（b×1²-2×1+1）＜0，
解得b＜1；
∴h（x）在（0，1）上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，b＜1；
∴b的取值范圍是{b|b＜1}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值的問(wèn)題，是易錯(cuò)題．