Question

（1）解關(guān)于x的不等式：（a²+a-1）x＞a²（1+x）+a-2（a∈R）；（2）如果x=a²-4在上述不等式的解集中，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把原不等式右邊的未知項(xiàng)移項(xiàng)到左邊進(jìn)行合并，同時(shí)右邊的式子分解因式，然后根據(jù)a-1大于0，a-1等于0及a-1小于0三種情況，根據(jù)不等式的基本性質(zhì)把x的系數(shù)化為1，分別求出原不等式相應(yīng)的解集即可；
（2）解法一：分兩種情況：a大于1時(shí)，根據(jù)相應(yīng)的解集列出關(guān)于a的不等式組；同理a小于1時(shí)列出相應(yīng)的不等式組，求出兩不等式組解集的并集即可得到a的范圍；
解法二：把x=a²-4代入原不等式中化簡(jiǎn)，得到關(guān)于a的不等式，畫(huà)出相應(yīng)的圖形，根據(jù)圖形即可得到滿(mǎn)足題意的a的取值范圍．

解答：解：（1）（a²+a-1）x＞a²（1+x）+a-2，
（a²+a-1）x-a²x＞a²+a-2，
（a-1）x＞a²+a-2，
（a-1）x＞（a-1）（a+2），
當(dāng)a＞1時(shí)，解集為{x|x＞a+2}；
當(dāng)a=1時(shí)，解集為∅；
當(dāng)a＜1時(shí)，解集為{x|x＜a+2}；
（2）解法一：由題意，

a＞1 a+2＜a2-4

或

a＜1 a+2＞a2-4

，
分別化為：

a＞1 (a-3)(a+2)＞0

或

a＜1 (a-3)(a+2)＜0

，
解得：a＞3或-2＜a＜1，
則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-2，1）∪（3，+∞）；
解法二：將x=a²-4代入原不等式，
并整理得：（a+2）（a-1）（a-3）＞0，
根據(jù)題意畫(huà)出圖形，如圖所示：

根據(jù)圖形得：實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-2，1）∪（3，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了其他不等式的解法，利用了分類(lèi)討論及數(shù)形結(jié)合的思想，第二小題有兩種解法：一種是利用轉(zhuǎn)化的思想，討論a大于1和a小于1，根據(jù)第一問(wèn)求出的解集列出相應(yīng)的不等式組；另一種是直接把x的值代入原不等式，借助圖形來(lái)求解．