Question

設(shè)P（t，0）為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，過P作拋物線y=x²+1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B
（1）求線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）求證：直線AB過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）設(shè)△PAB的面積為S，求的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設(shè)出過P的切線方程，與拋物線方程聯(lián)立，因?yàn)榍芯�與拋物線只可能有一個(gè)交點(diǎn)，所以∴△=0，就可求出兩條切線的斜率之積，再用導(dǎo)數(shù)求出曲線在A，B點(diǎn)的切線斜率，用A，B點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示，就可得到A，B點(diǎn)的橫坐標(biāo)的關(guān)系式，因?yàn)镸時(shí)A，B的中點(diǎn)，把M點(diǎn)坐標(biāo)用A，B點(diǎn)坐標(biāo)表示，代入前面求出的A，B橫坐標(biāo)滿足的關(guān)系式，消去參數(shù)，就可得到M點(diǎn)的軌跡方程．
（2）利用導(dǎo)數(shù)，求出曲線在A，B點(diǎn)的切線斜率，把兩條切線方程都用以A，B點(diǎn)坐標(biāo)為參數(shù)的方程表示，觀察兩個(gè)方程，形式相同，都滿足y=2tx+2，所以可得到直線AB的方程為y=2tx+2．
（3）用點(diǎn)到直線的距離公式求出三角形PAB的高，用弦長公式求出線段AB長，代入，化簡為直含t的式子，再用導(dǎo)數(shù)求出最小值．
解答：解：（1）設(shè)過P（t，0）與拋物線y=x²+1的相切的直線的斜率是k，
則該切線的方程為：y=k（x-t）
由 ，得，x²-kx+（kt+1）=0
∵直線與拋物線相切，
∴方程x²-kx+（kt+1）=0有一解，
∴△=k²-4（kt+1）=k²-4tk-4=0
則k₁，k₂都是方程k²-4tk-4=0的解，故k₁k₂=-4
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y）
對函數(shù)y=x²+1求導(dǎo)數(shù)，得y′=2x，
∴拋物線y=x²+1在A（x₁，y₁）點(diǎn)處的切線斜率為2x₁，在B（x₂，y₂）點(diǎn)處的切線斜率為2x₂，
∴2x₁•2x₂=-4，即x₁x₂=-1
∵M(jìn)為AB中點(diǎn)，∴x=，y=
∵A，B點(diǎn)在拋物線y=x²+1，∴y₁=x₁²+1，y₂=x₂²+1，
∴y₁+y₂=x₁²+1+x₂²+1=（x₁+x₂）²-2x₁x₂+2
即2y=（2x）²+2+2，2x²-y+2=0
∴線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程為2x²-y+2=0
（2）由（1）知，直線PA的方程為y-y₁=2x₁（x-x₁），直線PB的方程為y-y₂=2x₂（x-x₂），
∵P（t，0）為兩條切線的交點(diǎn)，∴-y₁=2x₁（t-x₁），即-y₁=2x₁t-2x₁²，
∵y₁=x₁²+1，∴-y₁=2x₁t-2（y₁-1），y₁=2x₁t+2，同理，y₂=2x₂t+2，
∴直線AB的方程是y=2tx+2，則直線PQ過定點(diǎn)（0，2）．
（3）P點(diǎn)到AB的距離d==
聯(lián)立直線AB與拋物線y=x²+1，消去y，得，x²-2tx-1=0
∴x₁+x₂=2t，x₁x₂=-1，∴|AB|=|x₁-x₂|==
|OP|=|t|
∴====2（t≠0）
令=m，則m=
對m求導(dǎo)，的m′=，令m′=0，得，t=-，
∵當(dāng)t＜0時(shí)，m′＜0．t＞0時(shí)，m′＞0，∴函數(shù)m=在t=-處有極小值，
又∵函數(shù)在整個(gè)定義域上只有一個(gè)極小值，
∴此時(shí)函數(shù)有最小值，也即有最小值，最小值為．
點(diǎn)評：本題主要考查直線與拋物線相切位置關(guān)系的判斷，導(dǎo)數(shù)與曲線的切線斜率之間的關(guān)系，以及應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值．