Question

已知函數(shù)f(x)=

3

2

sinπx+

1

2

cosπx，x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）如圖，函數(shù)f（x）在[-1，1]上的圖象與x軸的交點從左到右分別為M、N，圖象的最高點為P，求

PM

與

PN

的夾角的余弦．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)的表達式，然后求函數(shù)f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）解法一：通過函數(shù)為0，求出M，N的坐標，確定P的位置，求出

PM

與

PN

，求出

PM

與

PN

的夾角的余弦．
      解法二：過點P作PA⊥x軸于A，則|PA|=1，求出|PM|，|PN|在三角形中利用余弦定理求出

PM

與

PN

的夾角的余弦．
      解法三：過點P作PA⊥x軸于A，則|PA|=1，在Rt△PAM中，求出cos∠MPA=

|PA|

|PM|

，通過二倍角公式求出

PM

與

PN

的夾角的余弦．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=

3

2

sinπx+

1

2

cosπx
=sin(πx+

π

6

)（2分）
∵x∈R∴-1≤sin(πx+

π

6

)≤1，
∴函數(shù)f（x）的最大值和最小值分別為1，-1．（4分）
（Ⅱ）解法1：令f(x)=sin(πx+

π

6

)=0得πx+

π

6

=kπ，k∈Z，
∵x∈[-1，1]∴x=-

1

6

或x=

5

6

∴M(-

1

6

，0)，N(

5

6

，0)，（6分）
由sin(πx+

π

6

)=1，且x∈[-1，1]得x=

1

3

∴P(

1

3

，1)，（8分）
∴

PM

=(-

1

2

，-1)，

PN

=(

1

2

，-1)，（10分）
∴cos＜

PM

，

PN

＞=

PM • PN

| PM |•| PN |

=

3

5

．（12分）
解法2：過點P作PA⊥x軸于A，則|PA|=1，
由三角函數(shù)的性質(zhì)知|MN|=

1

2

T=1，（6分）|PM|=|PN|=

12+( 1 2 )2

=

5

2

，（8分）
由余弦定理得cos＜

PM

，

PN

＞=

|PM|2+|PN|2-|MN|2

2|PM|•|PN|

（10分）
=

5 4 ×2-1

2× 5 4

=

3

5

．（12分）
解法3：過點P作PA⊥x軸于A，則|PA|=1，
由三角函數(shù)的性質(zhì)知|MN|=

1

2

T=1，（6分）|PM|=|PN|=

12+( 1 2 )2

=

5

2

（8分）
在Rt△PAM中，cos∠MPA=

|PA|

|PM|

=

1

5 2

=

2 5

5

（10分）
∵PA平分∠MPN∴cos∠MPN=cos2∠MPA=2cos²∠MPA-1=2×(

2 5

5

)2-1=

3

5

．（12分）

點評：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的化簡求值，向量的夾角的求法，可以通過向量的數(shù)量積解決，也可以通過三角形解決，考查計算能力，�？碱}型．