Question

【題目】已知為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)為其上一點(diǎn)，與關(guān)于軸對稱，直線與拋物線交于異于的兩點(diǎn)，，.

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）判斷是否存在這樣的直線，使得的面積最小.若存在，求出直線的方程和面積的最小值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）最小值，此時(shí)直線的方程為

【解析】試題分析：（1）由題意知，得出拋物線的方程，由，得出，，根據(jù)，得，由此能求出點(diǎn)坐標(biāo)；（2）由題意知直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)，由得，由此能求出當(dāng)時(shí)有最小值，此時(shí)直線方程為.

試題解析：（1）由題意知，故拋物線方程為

∵

∴

∴

（2）由題意知直線的斜率不為0，則可設(shè)直線的方程為

聯(lián)立方程組

設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)，由，整理得，此時(shí)，恒成立.故直線的方程可設(shè)為從而直線過定點(diǎn).

又∵

∴的面積

∴當(dāng)時(shí)有最小值，此時(shí)直線的方程為.