Question

（本小題13分）已知兩定點(diǎn)滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的軌跡是曲線(xiàn)E，直線(xiàn)與曲線(xiàn)E交于A、B兩點(diǎn)。如果且曲線(xiàn)E上存在點(diǎn)C，使.

（Ⅰ）求曲線(xiàn)的方程；

（Ⅱ）求AB的直線(xiàn)方程；

（Ⅲ）求的值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）。（Ⅲ）。

【解析】本試題主要是考查了雙曲線(xiàn)方程的求解，以及直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用。結(jié)合韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，以及向量的坐標(biāo)關(guān)系式，得到參數(shù)的求解。

（1）根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義可以得到雙曲線(xiàn)的方程的求解。

（2）聯(lián)立方程組，得到相交弦的長(zhǎng)度以及韋達(dá)定理得到直線(xiàn)的方程。

(3)根據(jù)，得到坐標(biāo)關(guān)系式，結(jié)合上一問(wèn)的結(jié)論，可知參數(shù)m的等式，得到結(jié)論。

解：（Ⅰ）由雙曲線(xiàn)的定義可知，曲線(xiàn)是以為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的左支，且，易知

故曲線(xiàn)的方程為……….4分

（Ⅱ） 設(shè)，由題意建立方程組

消去，得

又已知直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)左支交于兩點(diǎn)，有

       解得……….6分

又∵

依題意得    整理后得

∴或  但   ∴

故直線(xiàn)的方程為……….9分

（Ⅲ）設(shè)，由已知，得

∴，

又，

∴點(diǎn) 將點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線(xiàn)的方程，得 

得，但當(dāng)時(shí)，所得的點(diǎn)在雙曲線(xiàn)的右支上，不合題意 ∴，…13分