Question

若曲線C上的點到直線x=-2的距離比它到點F（1，0）的距離大1，
（1）求曲線C的方程．
（2）過點F（1，0）作傾斜角為135⁰的直線交曲線C于A、B兩點，求AB的長
（3）過點F（1，0）作斜率為k 的直線交曲線C于M、N 兩點，求證：

1

|MF|

+

1

|NF|

為定值．

Answer 1

分析：（1）由已知得曲線C上的點到直線x=-1的距離等于到點（1，0）的距離，所以曲線C的軌跡是拋物線，由此能求出其方程．
（2）由

y=-(x-1) y2=4x

，得y²+4y-4=0，y₁+y₂=-4，y₁y₂=-4，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由此能求出|AB|= 

2

•

32

=8．
（3）

y2=4x y=k(x-1)

，y2-

4

k

y-4=0，設M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），y3+y4=

4

k

，y3y4=-4，由此能求出

1

|MF|

+

1

|NF|

為定值．

解答：解：（1）由已知得曲線C上的點到直線x=-1的距離等于到點（1，0）的距離，所以曲線C的軌跡是拋物線，其方程是y²=4x．
（2）由

y=-(x-1) y2=4x

，得y²+4y-4=0，
∴y₁+y₂=-4，y₁y₂=-4，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴|AB|= 

2

•

32

=8．
（3）

y2=4x y=k(x-1)

，∴y2-

4

k

y-4=0，
設M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），y3+y4=

4

k

，y3y4=-4，
∴

1

|MF|

+

1

|NF|

=

1

x3+1

+

1

x4+1

=

x3+x4+2

x3x4+x3+x4+1

=

x3+x4+2

y32 4 •  y42 4 +x3+x4+1

=

x3+x4+2

x3+x4+2

=1，
∴

1

|MF|

+

1

|NF|

為定值．

點評：本題考查直線的圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，注意培養(yǎng)解題技巧，提高解題能力．