Question

（文做理不做）正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，p、q、r分別是AB、AD、B₁C₁的中點(diǎn)．那么正方體的過(guò)P、Q、R的截面圖形是

正六邊形

．
（理做文不做）已知空間三個(gè)點(diǎn)A（-2，0，2）、B（-1，1，2）和C（-3，0，4），設(shè)

a

=

AB

，

b

=

AC

．當(dāng)實(shí)數(shù)k為

k=-

5

2

或k=2

時(shí)k

a

+

b

與k

a

-2

b

互相垂直．

Answer 1

分析：（文）利用平面的基本性質(zhì)即可．
（理）利用向量的共線(xiàn)和由數(shù)量積判斷向量的垂直即可得出．

解答：解：（文）如圖所示：
正方體的過(guò)P、Q、R的截面圖形是正六邊形PMRSNQ．
下面證明：∵P、Q、R、S分別是AB、AD、B₁C₁的中點(diǎn)，
∴PQ∥BD∥B₁D₁∥RS，
∴P、Q、S、R四點(diǎn)共面，
取邊BB₁的中點(diǎn)M，連接RM并延長(zhǎng)交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)與K點(diǎn)，連接PK．
則△BKM≌△B₁RM，∴BK=B₁R=BP，
可得Q、P、K三點(diǎn)共線(xiàn)，即M點(diǎn)在平面PQR上，
同理可知N點(diǎn)也在平面PQSR上，
故六點(diǎn)PQNSRM共面．可知其六邊長(zhǎng)相等．
（理）∵三個(gè)點(diǎn)A（-2，0，2）、B（-1，1，2）和C（-3，0，4），
∴

a

=

AB

=（1，1，0），

b

=

AC

=（-1，0，2）．
∴k

a

+

b

=（k-1，k，2），k

a

-2

b

=（k+2，k，-4）．
∵（k

a

+

b

）⊥（k

a

-2

b

），
∴(k

a

+

b

)•(k

a

-2

b

)=0，
即（k-1）（k+2）+k²-8=0，化為2k²+k-10=0，解得k=2或k=-

5

2

．
故答案為（文）正六邊形，（理）k=2或k=-

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握平面的基本性質(zhì)和向量的共線(xiàn)與用數(shù)量積判斷垂直是解題的關(guān)鍵．