Question

過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)F₂作垂直于實(shí)軸的弦PQ，F(xiàn)₁是另一焦點(diǎn)，若∠PF1Q=

π

2

，則雙曲線的離心率e等于

2

+1

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，△PQF₁是等腰直角三角形，且被F₁F₂分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形．由此結(jié)合雙曲線的定義，可解出a=（

2

-1）c，即可得到該雙曲線的離心率．

解答：解：根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性得|PF₁|=|QF₁|，
∵△PQF₁中，∠PF1Q=

π

2

，
∴△PQF₁是等腰直角三角形，且被F₁F₂分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形
因此，Rt△PF₁F₂中，|F₁F₂|=|PF₂|=2c，|PF₁|=

2

|F₁F₂|=2

2

c
∵|PF₁|-|PF₂|=2a，
∴2

2

c-2c=2a，可得a=（

2

-1）c
由此可得，雙曲線的離心率e=

c

a

=

c

( 2 -1)c

=

2

+1
故答案為：

2

+1

點(diǎn)評(píng)：本題給出雙曲線方程，在已知過右焦點(diǎn)的通徑和左焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的情況下求雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．