Question

設(shè)函數(shù)f（x）=bcosx+csinx的圖象經(jīng)過兩點(diǎn)（0，1）和(

π

2

，

3

)，對(duì)一切x∈[0，π]，|f（x）+a|≤3恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

[-2，1]

．

Answer 1

分析：依題意可求得b=1，c=

3

，從而可根據(jù)x∈[0，π]，|f（x）+a|≤3恒成立，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)解決．

解答：解：依題意得：f（0）=bcos0+csin0=b=1，
f（

π

2

）=bcos

π

2

+csin

π

2

=c=

3

，
∴f（x）=cosx+

3

sinx=2sin（x+

π

6

）．
又x∈[0，π]，
∴

π

6

≤x+

π

6

≤

7π

6

，
∴-

1

2

≤sin（x+

π

6

）≤1，
∴-1≤2sin（x+

π

6

）≤2，即-1≤f（x）≤2，
∴-2≤-f（x）≤1；
∵|f（x）+a|≤3恒成立，
∴-3≤f（x）+a≤3，
∴-3-f（x）≤a≤3-f（x）．
∴a≥[-3-f（x）]_max=-2且a≤[3-f（x）]_min=1，
∴-2≤a≤1．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-2，1]．
故答案為：[-2，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，考查兩角和與差的正弦函數(shù)與正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查綜合分析與應(yīng)用能力，屬于難題．