Question

已知二次函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)f（x）有最小值-．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)（n，S_n）（n∈N）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=，T_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求使得T_n＜對(duì)所有n∈N都成立的最小正整數(shù)m．

Answer 1

解：（1）依題意，設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a≠0），
由于當(dāng)x=時(shí)，f（x）有最小值-，
所以，解得a=2，b=-1，
所以f（x）=2x²-x，
又點(diǎn)（n，S_n）（n∈N^*），均在函數(shù)y=f（x）的圖象上，
所以S_n=2n²-n，
當(dāng)n=1時(shí)，，當(dāng)n≥2時(shí)，=4n-3；
a₁=1也適合上式，
所以a_n=4n-3（n∈N^*）．
（2）由（1）得b_n===（-），
所以T_n=[（1-）+（-）+…+（-）]=（1-）．
因此，要使（1-）＜（n∈N^*）成立，m必須且只需滿(mǎn)足≤，即m≥10，
故滿(mǎn)足要求的最小正整數(shù)m為10．
分析：（1）依題意，設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a≠0），由x=時(shí)，函數(shù)f（x）有最小值-，可得-，-，解出即可得到f（x）解析式，根據(jù)即可求得a_n，注意檢驗(yàn)n=1時(shí)的情況；
（2）由（1）寫(xiě)出bn表達(dá)式，并進(jìn)行適當(dāng)變形，利用裂項(xiàng)相消法即可求得T_n，T_n＜對(duì)所有n∈N^*都成立等價(jià)于T_n的最大值小于，其最大值易求；
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式、數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與不等式的綜合，考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，綜合性強(qiáng)，對(duì)能力有一定要求．