Question

（2008•廣東）在平行四邊形ABCD中，AC與DB交于點(diǎn)O，E是線段OD的中點(diǎn)，AE延長線與CD交于F．若

AC

=

a

，

BD

=

b

，則

AF

=（　　）

• A．

  1

  4

  a

  +

  1

  2

  b

• B．

  2

  3

  a

  +

  1

  3

  b

• C．

  1

  2

  a

  +

  1

  4

  b

• D．

  1

  3

  a

  +

  2

  3

  b

Answer 1

分析：根據(jù)兩個(gè)三角形相似對(duì)應(yīng)邊成比例，得到DF與FC之比，做FG平行BD交AC于點(diǎn)G，使用已知向量表示出要求的向量，
得到結(jié)果．

解答：解：∵由題意可得△DEF∽△BEA，
∴

DE

EB

=

DF

AB

=

1

3

，再由AB=CD可得

DF

DC

=

1

3

，
∴

DF

FC

=

1

2

．
作FG平行BD交AC于點(diǎn)G，
∴

FG

DO

=

CG

CO

=

2

3

，
∴

GF

=

2

3

OD

=

1

3

BD

=

1

3

b

．
∵

AG

=

AO

+

OG

=

AO

+

1

3

OC

=

1

2

AC

+

1

6

AC

=

2

3

AC

=

2

3

a

，
∴

AF

=

AG

+

GF

=

2

3

a

+

1

3

b

，
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義，向量是數(shù)形結(jié)合的典型例子，向量的加減運(yùn)算是用向量解決問題的基礎(chǔ)，要學(xué)好運(yùn)算，才能用向量解決立體幾何問題，三角函數(shù)問題，好多問題都是以向量為載體的，本題屬于中檔題．