Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，底面是邊長為2的正三角形，M、N、G分別是棱長CC₁、AB、BC的中點．
（1）求證：CN∥平面AMB₁；
（2）若CC₁=2

2

，求證：B₁M⊥平面AMG．

Answer 1

分析：（1）連A₁B，與AB₁相交于P，則點P為A₁B的中點，易證四邊形MCNP為矩形，利用線面平行的判定定理即可；
（2）首先證明AG⊥B₁M，再由勾股定理證得AM⊥B₁M，利用線面垂直的判定定理即可證得B₁M⊥平面AMG．

解答：解：（1）證明：連A₁B，與AB₁相交于P，則點P為A₁B的中點，連MP，PN則PN

∥ .

.

1

2

BB₁=MC，又CC₁⊥底面ABC，
∴四邊形MCNP為矩形，
∴CN∥MP，MP?平面AMB₁，CN?平面AMB₁，
∴CN∥平面AMB₁；
（2）∵CC₁⊥底面ABC，CC₁?平面BCC₁B₁，
∴底面ABC⊥平面BCC₁B₁，
又∵底面ABC是邊長為2的正三角形，G是BC的中點，
∴AG⊥BC，底面ABC∩平面BCC₁B₁=BC，
∴AG⊥平面BCC₁B₁，B₁M?平面BCC₁B₁，
∴AG⊥B₁M①．
∵CC₁=2

2

，△ABC是邊長為2的正三角形，在△AMB₁中，|B₁M|=|AM|=

|CM|2+|AC|2

=

6

，
|AB₁|=

|BB1|2+|AB|2

=

8+4

=2

3

，
∴|AB1|2=|MB1|2+|AM|²，
∴AM⊥B₁M②而AM∩AG=A，
∴B₁M⊥平面AMG．

點評：本題考查直線與平面平行的判定與直線與平面垂直的判定，熟練掌握直線與平面平行與垂直的判定定理是解題證題的關(guān)鍵，屬于中檔題．，