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        1. 已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:f(x+6)=-f(x),且y=f(x-3)是奇函數(shù),給出以下命題,正確的是( 。
          (1)f(x)是周期函數(shù)     
          (2)f(x)關(guān)于點(-3,0)對稱
          (3)f(x)是偶函數(shù)       
          (4)f(x)關(guān)于直線x=-3對稱.
          A、(1)(2)(3)B、(1)(2)(3)(4)C、(1)(2)(4)D、(1)(3)(4)
          分析:(1)f(x+6)=-f(x)⇒f(x+12)=f(x),于是可判斷(1)之正誤;
          (2)y=f(x-3)是奇函數(shù)⇒y=f(x-3)的圖象關(guān)于原點成中心對稱⇒f(x)的圖象關(guān)于點(-3,0)對稱,于是可判斷其正誤;
          (3)y=f(x-3)是奇函數(shù)⇒f(-x-3)=-f(x-3),用x-3替換f(x+6)=-f(x)中的x,即可判斷(3)之正誤;
          (4)f(x)關(guān)于點(-3,0)對稱,⇒f(-6)+f(0)=0,f(-6)=-f(0)≠f(0),于是可判斷(4)之正誤.
          解答:解:對于(1):∵f(x+6)=-f(x),
          ∴f[(x+6)+6]=-f(x+6)=-[-f(x)]=f(x),即f(x+12)=f(x),
          ∴f(x)是周期為12的函數(shù),故(1)正確;
          對于(2):∵y=f(x-3)是奇函數(shù),
          ∴y=f(x-3)的圖象關(guān)于原點成中心對稱,
          而y=f(x-3)的圖象是y=f(x)的圖象向右平移3個單位得到的,故f(x)的圖象關(guān)于點(-3,0)對稱,故(2)正確;
          對于(3):∵f(x+6)=-f(x),
          ∴用x-3替換x得:f(x+3)=-f(x-3),又y=f(x-3)是奇函數(shù),f(-x-3)=-f(x-3),
          ∴f(-x-3)=f(x+3),
          ∴f(x)是偶函數(shù),即(3)正確;
          對于(4):∵f(x)關(guān)于點(-3,0)對稱,
          ∴f(-6)+f(0)=0,f(-6)=-f(0)≠f(0),
          ∴f(x)不關(guān)于直線x=-3對稱,即(4)錯誤;
          綜上所述,(1)(2)(3)正確,
          故選:A.
          點評:本題考查抽象函數(shù)的性質(zhì),考查學(xué)生分析解決問題的能力,考查轉(zhuǎn)化思想與邏輯思維能力,屬于中檔題.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足下列條件:
          ①對任意的x∈R都有f(x+2)=f(x);
          ②若0≤x1<x2≤1,都有f(x1)>f(x2);
          ③y=f(x+1)是偶函數(shù),
          則下列不等式中正確的是( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:f(x)=
          f(x-1)-f(x-2),x>0
          log2(1-x),       x≤0
            則:
          ①f(3)的值為
          0
          0
          ,
          ②f(2011)的值為
          -1
          -1

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=-f(x),且x∈(-1,1]時f(x)=
          1,(-1<x≤0)
          -1,(0<x≤1)
          ,則f(3)=( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知定義在R上的函數(shù)f(x)是偶函數(shù),對x∈R都有f(2+x)=f(2-x),當f(-3)=-2時,f(2013)的值為(  )
          A、-2B、2C、4D、-4

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知定義在R上的函數(shù)f(x),對任意x∈R,都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,若函數(shù)y=f(x+1)的圖象關(guān)于直線x=-1對稱,則f(2013)=( 。
          A、0B、2013C、3D、-2013

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          同步練習(xí)冊答案