Question

【題目】設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，上頂點(diǎn)為，過與垂直的直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，且.

（1）求橢圓的離心率；

（2）若過、、三點(diǎn)的圓恰好與直線相切，求橢圓的方程；

（3）過的直線與（2）中橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，則的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值及此時(shí)的直線方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2） ；（3）的內(nèi)切圓的面積的最大值為，此時(shí)直線的方程為.

【解析】

試題分析：（1）由橢圓的幾何性質(zhì)寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，，，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算，由這個(gè)關(guān)系可解得；（2）外接圓圓心為斜邊的中點(diǎn)，半徑，由相切的性質(zhì)得，求出，再由，求出即可；

（3）設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，則的周長為，由此可得，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得，由根與系數(shù)關(guān)系代入，換元令，轉(zhuǎn)化為，可知當(dāng)時(shí)，有最大值，從而求出內(nèi)切圓面積的最大值與相應(yīng)的直線方程即可.

試題解析：（1）由題，為的中點(diǎn).設(shè)，則，

，，由題，即，

∴即，∴.

（2）由題外接圓圓心為斜邊的中點(diǎn)，半徑，

∵由題外接圓與直線相切，∴，即，即，

∴，，，故所求的橢圓的方程為.

（3）設(shè)，，由題異號，

設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，則的周長為，

，

因此要使內(nèi)切圓的面積最大，只需最大，此時(shí)也最大，

，

由題知，直線的斜率不為零，可設(shè)直線的方程為，

由得，

由韋達(dá)定理得，，（）

，

令，則，，

當(dāng)時(shí)，有最大值3，此時(shí)，，，

故的內(nèi)切圓的面積的最大值為，此時(shí)直線的方程為.