Question

在如圖所示的幾何體中，AE⊥平面ABC，CD∥AE，F(xiàn)是BE的中點，AC=BC=1，∠ACB=90°，AE=2CD=2．
（Ⅰ）證明DF⊥平面ABE；
（Ⅱ）求二面角A-BD-E的余弦值．

Answer 1

分析：（1）將DF平移到CG的位置，欲證DF⊥平面ABE，即證CG⊥平面ABE，根據(jù)線面垂直的判定定理可知，只需證CG與平面ABE內(nèi)的兩相交直線垂直即可；
（2）過點A作AM⊥BE于M，過點M作MN⊥BD于N，連接AN，∠ANM是二面角A-BD-E的平面角，在Rt△AMN中利用余弦定理求出此角．

解答：解：（Ⅰ）取AB的中點G，連接CG、FG．
因為CD∥AE，GF∥AE，所以CD∥GF．
又因為CD=1，GF=

1

2

AE=1，所以CD=GF．
所以四邊形CDFG是平行四邊形，DF∥CG．（2分）
在等腰Rt△ACB中，G是AB的中點，所以CG⊥AB．
因為EA⊥平面ABC，CG?平面ABC，所以EA⊥CG．
而AB∩EA=A，所以CG⊥平面ABE．
又因為DF∥CG，所以DF⊥平面ABE．（6分）

（Ⅱ）因為DF⊥平面ABE，DF?平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABE．
過點A作AM⊥BE于M，則AM⊥平面BDE，所以AM⊥BD．
過點M作MN⊥BD于N，連接AN，則BD⊥平面AMN，所以BD⊥AN．
所以∠ANM是二面角A-BD-E的平面角．（10分）
在Rt△ABE中，AM=

AE•AB

BE

=

2 2

6

=

2 3

3

．
因為AD=BD=AB=

2

，所以△ABD是等邊三角形．又AN⊥BD，所以AN=

3

2

AB=

6

2

，NM=

6

6

．
在Rt△AMN中，cos∠ ANM=

NM

AN

=

6

6

×

2

6

=

1

3

．
所以二面角A-BD-E的余弦值是

1

3

．（12分）

點評：本題主要考查線面關(guān)系及面面關(guān)系的基礎(chǔ)知識，同時考查空間想象能力和邏輯推理能力．