Question

定義全集U的子集P的特征函數(shù)fp(x)=

1，  x∈P 0，  x∈?UP

，這里?_UP表示集合P在全集U的補(bǔ)集．已知P?U，Q?U，給出下列命題：其中正確的是（　�。�
①若P?Q，則對(duì)于任意x∈U，都有f_P（x）≤f_Q（x）；
②對(duì)于任意x∈U，都有fC_Up（x）=1-f_p（x）；
③對(duì)于任意x∈U，都有f_P∩Q（x）=f_p（x）?f_Q（x）；
④對(duì)于任意x∈U，都有f_P∪Q（x）=f_p（x）+f_Q（x）．

• A、①②③
• B、①②④
• C、①③④
• D、②③④

Answer 1

分析：根據(jù)特征函數(shù)的定義分別進(jìn)行判斷即可．

解答：解：由函數(shù)fp(x)=

1，  x∈P 0，  x∈?UP

，可知
①∵P⊆Q，∴若x∈P，則x∈Q，
∵fQ(x)=

1，x∈Q 0，x∈CUQ

，
∴f_P（x）≤f_Q（x）；∴①正確．
②fC_Up（x）=

1，x∈CUP 0， x∈P

=1-f_p（x），∴②正確．

③f_P∩Q（x）=

1，x∈P∩Q 0，x∈CU(P∩Q)

=

1，x∈P∩Q 0，x∈(CUP)∪(CUQ)

=

1，x∈P 0，x∈CUP

•

1，x∈Q 0．x∈CUQ

=f_p（x）•f_Q（x），∴③正確．
④f_P∪Q（x）=

0，x∈P∪Q 1，x∈CU(P∪Q)

≠f_p（x）+f_Q（x），∴④錯(cuò)誤．
故正確的是①②③．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查與集合運(yùn)算有關(guān)的新定義問(wèn)題，正確理解題意是解決本題的關(guān)鍵，難度較大，綜合性較強(qiáng)．