Question

已知橢圓C1：+=1（a＞b＞0）的離心率為，x軸被拋物線(xiàn)C₂：y=x²-b截得的線(xiàn)段長(zhǎng)等于C₁的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)．
（1）求C₁，C₂的方程；
（2）設(shè)C₂與y軸的交點(diǎn)為M，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線(xiàn)l：y=kx與C₂相交于A，B兩點(diǎn)，直線(xiàn)MA，MB分別與C₁相交于D，E．
①證明：•為定值；
②記△MDE的面積為S，試把S表示成k的函數(shù)，并求S的最大值．

Answer 1

解：（1）由已知，
又a²=b²+c²，可解得a=2b ①
在y=x²-b中，令y=0，得
∴②
由①②得，a=2，b=1
∴，
（2）①證明：由得x²-kx-1=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=k，x₁x₂=-1
∵M(jìn)（0，-1），
∴=x₁x₂+（y₁+1）（y₂+1）=
∴MA⊥MB
∴MD⊥ME
∴•=0
②解：設(shè)A（x₁，kx₁），B（x₂，kx₂）
∵A在y=x²-1上，
∴
即∴，
∴，
∴直線(xiàn)AM方程為：y=x₁x-1代入，得，
∴，同理
∴
令
∴
又在t∈[2，+∞）時(shí)，u為增函數(shù)，
∴，此時(shí)t=2
∴k=0時(shí)，
分析：（1）由已知，根據(jù)a²=b²+c²，可得a=2b，又x軸被拋物線(xiàn)C₂：y=x²-b截得的線(xiàn)段長(zhǎng)等于C₁的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)．
，從而可求得a=2，b=1，故可求C₁，C₂的方程；
（2）①由得x²-kx-1=0，從而可證明MA⊥MB，所以MD⊥ME，故•=0
②設(shè)A（x₁，kx₁），B（x₂，kx₂），可求得直線(xiàn)AM、BM的方程，分別代入，從而求得D，E的坐標(biāo)，進(jìn)而可得面積，令，從而，借助于函數(shù)的單調(diào)性可求S的最大值．
點(diǎn)評(píng)：本題以橢圓的性質(zhì)為載體，考查曲線(xiàn)方程的求解，考查利用向量的知識(shí)證明向量的垂直，同時(shí)考查函數(shù)最值的求法，應(yīng)注意基本不等式的使用條件，否則會(huì)做錯(cuò)．