Question

已知拋物線C：y²=4x的對(duì)稱軸上一點(diǎn)A（a，0）（a＞0），過(guò)點(diǎn)A的直線l交拋物線于M、N兩點(diǎn)．
（1）若拋物線C上到點(diǎn)A最近的點(diǎn)恰為拋物線的頂點(diǎn)（0，0），求a的取值范圍；
（2）設(shè)直線OM的斜率為k_OM，直線ON的斜率為k_ON，若k_OM•k_ON=-2，求a的值．

Answer 1

分析：（I）設(shè)拋物線上任意一點(diǎn)P（x，y），則PA²=（x-a）²+4x=[x-（a-2）]²+4a-4，由0＜a≤2結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求
（II）設(shè)直線l：x=ty+a代入y²=4x得：y²-4ty-4a=0
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）則y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4a，代入KOM•KON=

y1

x1

•

y2

x2

=

y1y2

(ty1+a)(ty2+a)

可求a

解答：解：（I）設(shè)拋物線上任意一點(diǎn)P（x，y）
則PA²=（x-a）²+4x=[x-（a-2）]²+4a-4
由條件可知，a-2≤0，∴0＜a≤2
（II）設(shè)直線l：x=ty+a代入y²=4x得：y²-4ty-4a=0
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）則y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4a
∴KOM•KON=

y1

x1

•

y2

x2

=

y1y2

(ty1+a)(ty2+a)

=

y1y2

t2y1y2+at(y1+y2)+a2

=

4a

-a2

=-2
∴a=2

點(diǎn)評(píng)：本題以拋物線的為載體考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，要注意0＜a≤2的條件的限制，（2）主要考查了方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)出函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)化的思想在解題中的應(yīng)用．