Question

試證明:在平面上所有通過點(diǎn)(,0)的直線中,至少通過兩個(gè)有理點(diǎn)(有理點(diǎn)指坐標(biāo)x、y均為有理數(shù)的點(diǎn))的直線有一條且只有一條.

      

Answer 1

證明:先證存在性.?

       因?yàn)橹本�y=0顯然通過點(diǎn)(,0),且直線y=0至少通過兩個(gè)有理點(diǎn),例如它通過(0,0)和(1,0).這說明滿足條件的直線有一條.?

       再證唯一性.?

       假設(shè)除了直線y=0外還存在一條直線y=kx+b(k≠0或b≠0)通過點(diǎn)(,0),且該直線通過有理點(diǎn)A(x₁,y₁)與B(x₂,y₂),其中x₁、y₁、x₂、y₂均為有理數(shù).?

       因?yàn)橹本�y=kx+b通過點(diǎn)(,0),所以b=-k,于是y=k(x-),且k≠0.又直線通過A(x₁,y₁)與B(x₂,y₂)兩點(diǎn),?

       所以y₁=k(x₁-),                            ①?

       y₂=k(x₂-).                                  ②?

       ①-②,得y₁-y₂=k(x₁-x₂).                     ③?

       因?yàn)锳、B是兩個(gè)不同的點(diǎn),且k≠0,所以x₁≠x₂,y₁≠y₂.?

       由③,得k=,且k是不等于零的有理數(shù).?

       由①,得=x₁-.?

       此式的左邊是無理數(shù),右邊是有理數(shù),出現(xiàn)了矛盾.?

       所以,平面上通過點(diǎn)(2,0)的直線中,至少通過兩個(gè)有理點(diǎn)的直線只有一條.?

       綜上所述,滿足上述條件的直線有一條且只有一條.?