（本小題滿分15分）
已知函數(shù)
.
(Ⅰ)
若曲線
在點
處的切線
與曲線
有且只有一個公共點，求
的值；
(Ⅱ) 求證：函數(shù)
存在單調(diào)遞減區(qū)間
，并求出單調(diào)遞減區(qū)間的長度
的取值范圍.
（Ⅰ）
.（Ⅱ）以函數(shù)
的遞減區(qū)間長度
的取值范圍是
.
【解析】本試題主要考查了導數(shù)在研究函數(shù)中 的運用。
（1）先求解函數(shù)
的定義域為
，函數(shù)導數(shù)
所以曲線
在點
處的切線方程為：
因為切線與曲線有唯一的公共點，
所以方程
有且只有一個實數(shù)解，顯然
是方程的一個解.
構(gòu)造函數(shù)令
，則
對參數(shù)m討論得到結(jié)論。
（2））因為
.
因為
且對稱軸為
，
，
所以方程
在內(nèi)有兩個不同實根
，
結(jié)合韋達定理得到結(jié)論。
解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為，
所以曲線在點處的切線方程為：
因為切線與曲線有唯一的公共點，
所以方程有且只有一個實數(shù)解，顯然是方程的一個解.
令，則
①當時，
，
所以
在上單調(diào)遞增，即是方程唯一實數(shù)解.
②當
時，由得
，
，
在區(qū)間
上，
；在區(qū)間
上，
；
所以函數(shù)在
處有極大值
，且
；
而當
，因此
在內(nèi)也有一個解.
即當時，不合題目的條件.
綜上討論得.……………………………………………………………………………8分
（Ⅱ）
.
因為且對稱軸為，
，
所以方程在內(nèi)有兩個不同實根，
即
的解集為
，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為
.
由于
，所以
，
所以函數(shù)的遞減區(qū)間長度的取值范圍是.……………………15分
應(yīng)用題天天練四川大學出版社系列答案科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年福建省高三上學期期中理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題
（本小題滿分15分）
已知函數(shù)
（Ⅰ）求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若
，試分別解答以下兩小題.
（ⅰ）若不等式
對任意的
恒成立，求實數(shù)
的取值范圍；
（ⅱ）若
是兩個不相等的正數(shù)，且
，求證：
．
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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年浙江省高三下學期3月聯(lián)考理科數(shù)學 題型：解答題
(本小題滿分15分)．
已知
、
分別為橢圓
：
的
上、下焦點，其中也是拋物線
：
的焦點，
點
是與在第二象限的交點，且
。
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知點P（1，3）和圓
：
，過點P的動直線
與圓相交于不同的兩點A，B，在線段AB取一點Q，滿足：
，
（
且
）。求證：點Q總在某定直線上。
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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年浙江省高三上學期第三次月考數(shù)學文卷 題型：解答題
(本小題滿分15分)
如圖已知，橢圓
的左、右焦點分別為
、
，過的直線
與橢圓相交于A、B兩點。
（Ⅰ）若
，且
，求橢圓的離心率；
（Ⅱ）若
求
的最大值和最小值。
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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆浙江省寧波市高一上學期期末考試數(shù)學 題型：解答題
（本小題滿分15分）若函數(shù)
在定義域內(nèi)存在區(qū)間
，滿足在上的值域為，則稱這樣的函數(shù)為“優(yōu)美函數(shù)”.
（Ⅰ）判斷函數(shù)
是否為“優(yōu)美函數(shù)”？若是，求出
；若不是，說明理由；
（Ⅱ）若函數(shù)
為“優(yōu)美函數(shù)”，求實數(shù)
的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011年江蘇省高二下學期期中考試理數(shù) 題型：解答題
（本小題滿分15分）在5道題中有3道理科題和2道文科題，如果不放回地依次抽取2道題．求：
（1）第1次抽到理科題的概率；
（2）第1次和第2次都抽到理科題的概率；
（3）在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到文科題的概率
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