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          已知
          a
          =（cosα，sinα），
          b
          =（cosβ，sinβ），且
          a
          與
          b
          之間滿足關系：|k
          a
          +
          b
          |=
          		3
          |
          a
          -k
          b
          |，其中k＞0．
          （1）用k表示
          a
          •
          b
          ．
          （2）求
          a
          •
          b
          的最小值，并求此時
          a
          與
          b
          夾角θ的大小．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          分析：（1）由
          a
          =（cosα，sinα），
          b
          =（cosβ，sinβ），可得|
          a
          |=|
          b
          |=1，結(jié)合|k
          a
          +
          b
          |=
          		3
          |
          a
          -k
          b
          |，利用平方法，可得k2
          a
          2+
          b
          2+2k
          a
          •
          b
          =3（
          a
          2-2k
          a
          •
          b
          +k2
          b
          2），整理后可用k表示
          a
          •
          b
          ．
          （2）由（1）中函數(shù)的解析式，利用基本不等式，可分析出
          a
          •
          b
          的最小值，代入向量夾角公式，可得此時
          a
          與
          b
          夾角θ的大�。�
          解答：解：∵|k
          a
          +
          b
          |=
          		3
          |
          a
          -k
          b
          |兩邊平方，
          得：|k
          a
          +
          b
          |2=3|
          a
          -k
          b
          |2
          ∴k2
          a
          2+
          b
          2+2k
          a
          •
          b
          =3（
          a
          2-2k
          a
          •
          b
          +k2
          b
          2）
          即
          a
          •
          b
          =
          (3-k2)
          a
          2                     +(3k2-1)
          b
          2           
          8k
          ．
          ∵
          a
          =（cosα，sinα），
          b
          =（cosβ，sinβ），
          ∴
          a
          2=1，
          b
          2=1，
          ∴
          a
          •
          b
          =
          k2+1
          4k
          ．…（6分）
          （2）∵k＞0，
          ∴（k-1）2≥0，從而k2+1≥2k，
          即
          k2+1
          4k
          ≥
          2k
          4k
          ≥
          1
          2
          ，
          ∴
          a
          •
          b
          的最小值為
          1
          2
          ，
          此時cosθ=
          a
          •
          b
          |
          a
          ||
          b
          |
          =
          1
          2
          ，
          ∴θ=60°，
          即
          a
          與
          b
          夾角為60°．…（12分）
          點評：本題考查的知識點是平面向量的綜合題，熟練掌握向量模計算的計算方式及平面向量夾角公式，是解答的關鍵．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關習題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          定義平面向量之間的一種運算“⊙”如下：對任意的向量a=（m，n），b=（p，q），令a⊙b=（m+p，n-q），已知a=（cosθ，3），b=(sinθ，3+
          		2
          sinθ)          （θ∈R），點N（x，y）滿足
          ON
          =a⊙b（其中O為坐標原點），則|
          ON
          |2          的最大值為（　�。�
          
                
          A、
          		2
          B、2+
          		2
          C、2-
          		2
          D、2
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知
          a
          =（cosα，sinα），
          b
          =（cosβ，sinβ），其中0＜α＜β＜π．
          （1）求證：
          a
          +
          b
          與
          a
          -
          b
          互相垂直；
          （2）若k
          a
          +
          b
          與k
          a
          -
          b
          大小相等，求β-α（k≠0）．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知
          a
          =（cosα，sinα），
          b
          =（cosβ，sinβ），則（　�。�
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知
          a
          =（cosα，sinα），
          b
          =（cosβ，sinβ）．
          （1）若α-β=
          7π
          6
          ，求
          a
          •
          b
          的值；
          （2）若
          a
          •
          b
          =
          4
          5
          ，α=
          π
          8
          ，且α-β∈(-
          π
          2
          ，0)          ，求tan（α+β）的值．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2005•朝陽區(qū)一模）已知
          a
          =（cosα，sinα），
          b
          =（cosβ，sinβ），0＜α＜β＜π
          （Ⅰ）求|
          a
          |的值；
          （Ⅱ）求證：
          a
          +
          b
          與
          a
          -
          b
          互相垂直；
          （Ⅲ）設|
          a
          +
          b
          |=|
          a
          -
          b
          |，求β-α的值．
          

			
          

			
          
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