Question

已知直線(xiàn)l的方向向量為

a

=（1，1），且過(guò)直線(xiàn)l₁：2x+y+1=0和直線(xiàn)l₂：x-2y+3=0的交點(diǎn)．
（1）求直線(xiàn)l的方程；
（2）若點(diǎn)P（x₀，y₀）是曲線(xiàn)y=x²-lnx上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離的最小值．

Answer 1

（1）由

2x+y+1=0 x-2y+3=0

可得

x=-1 y=1

由題意可得，直線(xiàn)l的斜率k=1，且過(guò)（-1，1）
∴直線(xiàn)l的方程為y-1=x+1即x-y+2=0
（2）當(dāng)過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)和直線(xiàn)y=x+2平行時(shí)，點(diǎn)P到直線(xiàn)y=x+2的距離最�。�
由題意可得，y′=2x-

1

x

=1，
∴x=1，或 x=-

1

2

（舍去）
故曲線(xiàn)y=x²-lnx上和直線(xiàn)y=x+2平行的切線(xiàn)經(jīng)過(guò)的切點(diǎn)坐標(biāo)（1，1），
點(diǎn)（1，1）到直線(xiàn)y=x+2的距離d=

|1-1+2|

2

=

2

故點(diǎn)P到直線(xiàn)y=x-2的最小距離為

2