Question

【題目】已知五邊形由直角梯形與直角△構(gòu)成，如圖1所示，，，，且，將梯形沿著折起，形成如圖2所示的幾何體，且使平面平面．

（1）在線段上存在點(diǎn)，且，證明：平面；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)可證明，進(jìn)而得四邊形為平行四邊形，于是，再根據(jù)直線和平面平行的判定定理可證得結(jié)論；（2）以為軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.求出平面的一個(gè)法向量，又知平面的一個(gè)法向量為，根據(jù)空間向量夾角余弦公式可求得面角的平面角的余弦值.

試題解析：（1）過(guò)點(diǎn)作平行交于點(diǎn)，

∵，∴，

由題意知，，

∴，∴四邊形為平行四邊形，

∴，又平面，平面，

∴平面．

（2）∵，∴以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，則，，由，，可知，

∴，

∴，．

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，

則

令，得．

易證平面，知平面的一個(gè)法向量為，

設(shè)二面角的平面角為，則．

易判斷二面角為鈍二面角，

∴二面角的平面角的余弦值為．