Question

等腰直角三角形ABC的斜邊AB在平面α內(nèi)，若AC與α所成角為30°，則斜邊上的中線CM與α所成的角為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意過點C作CO⊥α，交α于點O，連接OA，OM，所以O(shè)C⊥OA，OC⊥OM，得到MC與α所成角為∠CMO，再設(shè)出有關(guān)線段的長度，利用解三角形的有關(guān)知識求出線面角的正弦值，進而得到答案．

解答：解：設(shè)AC=a，因為三角形ABC等腰直角三角形，所以AB=

2

a，
因為CM是斜邊上的中線，
所以CM=

2 a

2

．

過點C作CO⊥α，交α于點O，連接OA，OM，所以O(shè)C⊥OA，OC⊥OM，
所以AC與α所成角為∠CAO并且等于30°，MC與α所成角為∠CMO．
因為在△ACO中，AC=a，∠CAO=30°，OC⊥OA，
所以O(shè)C=

a

2

．
又因為在△COM中有OC⊥OM，CM=

2 a

2

，
所以sin∠CMO=

OC

CM

=

a 2

2 a 2

=

2

2

，
所以∠CMO=45°．
故答案為：45°．

點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握線面角的定義與作法，以及掌握求解三角形的有關(guān)知識，此題屬于中檔題型．