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        1. 已知定義域為[0,1]的函數(shù)同時滿足以下三個條件:①對任意x∈[0,1],總有f(x)≥0;②f(1)=1;③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,則有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立.
          (1)求f(0)的值;
          (2)函數(shù)g(x)=2x-1在區(qū)間[0,1]上是否同時適合①②③?并予以證明;
          (3)假定存在x∈[0,1],使得f(x)∈[0,1],且f(f(x))=x,求證:f(x)=x
          【答案】分析:(1)由①知:f(0)≥0;由③知f(0)≤0,從而得到f(0)=0.
          (2)由題設(shè)知g(1)=1;由x∈[0,1]知2x∈[1,2],得g(x)∈[0,1],有g(shù)(x)≥0;設(shè)x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,則,;由此能夠證明函數(shù)g(x)=2x-1在區(qū)間[0,1]上同時適合①②③.
          (3)若f(x)>x,則由題設(shè)知f(x)-x∈[0,1],且由①知f[f(x)-x]≥0,由此入手能證明f(x)=x
          解答:解:(1)由①知:f(0)≥0;由③知:f(0+0)≥f(0)+f(0),即f(0)≤0;
          ∴f(0)=0
          (2 ) 證明:由題設(shè)知:g(1)=2-1=1;
          由x∈[0,1]知2x∈[1,2],得g(x)∈[0,1],有g(shù)(x)≥0;
          設(shè)x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,則;

          即g(x1+x2)≥g(x1)+g(x2
          ∴函數(shù)g(x)=2x-1在區(qū)間[0,1]上同時適合①②③.
          (3)證明:若f(x)>x,則由題設(shè)知:f(x)-x∈[0,1],且由①知f[f(x)-x]≥0,
          ∴由題設(shè)及③知:x=f(f(x))=f[(f(x)-x)+x]=f[f(x)-x]+f(x)≥f(x
          矛盾;
          若f(x)<x,則則由題設(shè)知:x-f(x)∈[0,1],且由①知f[x-f(x)]≥0,
          ∴同理得:f(x)=f[(x-f(x))+f(x)]=f[x-f(x)]+f(f(x))≥f(f(x))=x,矛盾;
          故由上述知:f(x)=x
          點評:本題考查函數(shù)值的求法和函數(shù)恒成立問題的應(yīng)用,解題時要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知定義域為[0,1]的函數(shù)f(x)同時滿足:
          ①對于任意的x∈[0,1],總有f(x)≥0;
          ②f(1)=1;
          ③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,則有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2).
          (1)求f(0)的值;
          (2)求f(x)的最大值;
          (3)若對于任意x∈[0,1],總有4f2(x)-4(2-a)f(x)+5-4a≥0成立,求實數(shù)a的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知定義域為[0,1]的函數(shù)f(x)同時滿足以下三個條件:
          ①對任意的x∈[0,1],總有f(x)≥0; 
          ②f(1)=1;
          ③若x1≥0,x2≥0且x1+x2≤1,則有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立,并且稱f(x)為“友誼函數(shù)”,
          請解答下列各題:
          (1)若已知f(x)為“友誼函數(shù)”,求f(0)的值;
          (2)函數(shù)g(x)=2x-1在區(qū)間[0,1]上是否為“友誼函數(shù)”?并給出理由.
          (3)已知f(x)為“友誼函數(shù)”,且 0≤x1<x2≤1,求證:f(x1)≤f(x2).

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知定義域為[0,1]的函數(shù)f(x)同時滿足:
          ①對于任意的x∈[0,1],總有f(x)≥0;
          ②f(1)=1;
          ③若0≤x1≤1,0≤x2≤1,x1+x2≤1,則有f (x1+x2)≥f (x1)+f (x2).
          (1)試求f(0)的值;
          (2)試求函數(shù)f(x)的最大值;
          (3)試證明:當(dāng)x∈(
          1
          2n
          1
          2n-1
          ]
          ,n∈N+時,f(x)<2x.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知定義域為[0,1]的函數(shù)同時滿足以下三個條件:①對任意x∈[0,1],總有f(x)≥0;②f(1)=1;③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,則有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立.
          (1)求f(0)的值;
          (2)函數(shù)g(x)=2x-1在區(qū)間[0,1]上是否同時適合①②③?并予以證明;
          (3)假定存在x0∈[0,1],使得f(x0)∈[0,1],且f(f(x0))=x0,求證:f(x0)=x0

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知定義域為[0,1]的函數(shù)f (x)同時滿足:
          ①對于任意的x∈[0,1],總有f(x)≥0;
          ②f(1)=1;
          ③若0≤x1≤1,0≤x2≤1,x1+x2≤1,則有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2).
          (1)試求f(0)的值;
          (2)試求函數(shù)f (x)的最大值;
          (3)試證明:當(dāng)x∈(
          1
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          ]
          時,f(x)<2x.

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