Question

（2010•珠海二模）如圖是兩個(gè)獨(dú)立的轉(zhuǎn)盤(pán)（A）、（B），在兩個(gè)圖中的四個(gè)扇形區(qū)域的圓心角分別為60°、120°、90°90°．用這兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)進(jìn)行玩游戲，規(guī)則是：同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)待指針停下（當(dāng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)中任意一個(gè)指針恰好落在分界線時(shí)，則這次轉(zhuǎn)動(dòng)無(wú)效，重新開(kāi)始），記轉(zhuǎn)盤(pán)（A）指針?biāo)鶎?duì)的區(qū)域數(shù)為x，轉(zhuǎn)盤(pán)（B）指針?biāo)鶎?duì)的區(qū)域數(shù)為y，x、y∈{1，2，3，4}，設(shè)x+y的值為ξ，每一次游戲得到獎(jiǎng)勵(lì)分為ξ．
（1）求x＜3且y＞2的概率；
（2）某人進(jìn)行了6次游戲，求他平均可以得到的獎(jiǎng)勵(lì)分．

Answer 1

分析：（1）在兩個(gè)圖中的四個(gè)扇形區(qū)域的圓心角分別為60°、120°、90°、90°，根據(jù)圓心角度數(shù)，求出x和y取不同值時(shí)的概率，根據(jù)互斥事件的概率求出結(jié)論．
（2）由條件可知ξ的取值為：2、3、4、5、6、7、8，當(dāng)ξ=2時(shí)，即x=1且y=1，根據(jù)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式求出ξ=2的概率，用同樣的方法可以求出其他值對(duì)應(yīng)的概率，寫(xiě)出分布列和期望，估計(jì)平均可以得到的獎(jiǎng)勵(lì)分．

解答：（本小題滿分12分）
解：（1）由幾何概率模型可知：
P(x=1)=

1

6

，P(x=2)=

1

3

，P(x=3)=

1

4

，P(x=4)=

1

4

；
P(y=1)=

1

3

，P(y=2)=

1

4

，P(y=3)=

1

4

，P(y=4)=

1

6

∴P(x＜3)=P(x=1)+P(x=2)=

1

2

，P(y＞2)=P(y=3)+p(y=4)=

5

12

，
∴P(x＜3，y＞2)=P(x＜3)•P(y＞2)=

5

24

（2）由條件可知ξ的可能取值為：2、3、4、5、6、7、8，則：…（6分）
P(ξ=2)=P(x=1)•P(y=1)=

1

3

×

1

6

=

1

18

，
P（ξ=3）=P（x=1）P（y=2）+P（x=2）P（y=1）=

1

4

×

1

6

+

1

3

×

1

3

=

11

72

，…（7分）
同理可得：
P（ξ=4）=

5

24

，P（ξ=5）=

37

144

，P（ξ=6）=

13

72

，P（ξ=7）=

15

144

，P（ξ=8）=

1

24

，…（9分）
∴ξ的分布列為：

ξ	2	3	4	5	6	7	8
P	1 18	11 72	5 24	37 144	13 72	15 144	1 24

…（10分）
他平均一次得到的獎(jiǎng)勵(lì)分即為ξ的期望值：
Eξ=2×

1

18

+3×

11

72

+4×

5

24

+5×

37

144

+6×

13

72

+7×

15

144

+8×

1

24

=

29

6

，…（11分）
所以給他玩6次，平均可以得到6×Eξ=29分．               …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，注意滿足獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的條件，以及離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和分布列，屬于中檔題．