Question

（2013•鄭州二模）過點(diǎn)M（2，-2p）作拋物線x²=2py（p＞0）的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，若線段AB的中點(diǎn)縱坐標(biāo)為6，則p的值是

1或2

．

Answer 1

分析：設(shè)過點(diǎn)M的拋物線的切線方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用方程的判別式等于0，再利用韋達(dá)定理，
結(jié)合線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為6，可求p的值．

解答：解：設(shè)過點(diǎn)M的拋物線的切線方程為：y+2p=k（x-2）與拋物線的方程x²=2py聯(lián)立
消y得：x²-2pkx+4pk+4p²=0 ①．
根據(jù)題意可得，此方程的判別式等于0，∴pk²-4k-4p=0．
設(shè)切線的斜率分別為k₁，k₂，則k₁+k₂=

4

p

，
此時，方程①有唯一解為 x=-

-2pk

2×1

=pk，∴y=

x2

2p

=

pk2

2

=2（k+p）．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則12=y₁+y₂=2（k₁+k₂）+4p=

8

p

+4p，
∴p²-3p+2=0，解得 p=1或p=2，
故答案為 1或2．

點(diǎn)評：本題考查拋物線的切線，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式，屬于中檔題．