Question

某社區(qū)為豐富居民的業(yè)余文化生活，準(zhǔn)備召并一次趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)．在“射擊氣球”這項(xiàng)比賽活動(dòng)中，制定的比賽規(guī)則如下規(guī)則：每人只參加一場比賽，每場比賽每人都依次射擊完編號(hào)為①、②、③、④、⑤的5個(gè)氣球，每次射擊一個(gè)氣球；若這5次射擊中，④、⑤號(hào)氣球都被擊中，且①、②、③號(hào)氣球至少有1個(gè)被擊中，則此人獲獎(jiǎng)；否則不獲獎(jiǎng)．已知甲每次射擊擊中氣球的概率都為，且各次擊結(jié)果互不影響．
（I）求甲在比賽中獲獎(jiǎng)的概率；
（II）求甲至少擊中了其中3個(gè)氣球但沒有獲獎(jiǎng)的概率．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求出事件“①、②、③號(hào)氣球全都沒有擊中”的概率等于=，可得甲在比賽中獲獎(jiǎng)的概率等于×（1-），運(yùn)算求得結(jié)果．
（II）若④、⑤號(hào)氣球只有一個(gè)沒有被擊中，求得所求的事件的概率；若④、⑤號(hào)氣球兩個(gè)都沒有被擊中，求得所求的事件的概率；再把這兩個(gè)概率的值相加，即得所求．
解答：解：（I）事件“①、②、③號(hào)氣球至少有1個(gè)被擊中”的對(duì)立事件是：“①、②、③號(hào)氣球全都沒有擊中”，
由題意可得，事件“①、②、③號(hào)氣球全都沒有擊中”的概率等于=，
故甲在比賽中獲獎(jiǎng)的概率等于 ×（1-）=．
（II）甲至少擊中了其中3個(gè)氣球但沒有獲獎(jiǎng)，說明 ④、⑤號(hào)氣球至少有一個(gè)沒有被擊中．
若④、⑤號(hào)氣球只有一個(gè)沒有被擊中，則所求的事件的概率等于
（  ）×（ ××+）=．
若④、⑤號(hào)氣球兩個(gè)都沒有被擊中，則所求的事件的概率等于 ×=．
綜上可得，甲至少擊中了其中3個(gè)氣球但沒有獲獎(jiǎng)的概率等于 +=．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率，等可能事件的概率，所求的事件的概率等于用1減去它的對(duì)立事件概率，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，是一個(gè)中檔題目．