Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，

1 a 2 n +4

=

1

an+1

，記Sn=

n

i=1

a

2 i

，若S_2n+1-S_n≤

t

30

對(duì)任意的n（n∈N^*）恒成立，則正整數(shù)t的最小值為（　　）

A．10

B．9

C．8

D．7

Answer 1

分析：先求出 數(shù)列{a_n²}的通項(xiàng)公式，令 g（n）=S_2n+1-S_n，化簡g（n）-g（n+1）的解析式，判斷符號(hào)，得出g（n）為減數(shù)列的結(jié)論，從而得到 S2n+1-Sn≤g(1)=

14

45

≤

t

30

，可求正整數(shù)t的最小值．

解答：解：∵

1 a 2 n +4

=

1

an+1

，
∴

1

an2

+4=

1

an+12

，
∴

1

an+12

-

1

an2

=4，
∵a₁=1，
∴{

1

an2

}是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，
∴

1

an2

=1+(n-1)×4=4n-3，
∴an 2=

1

4n-3

，
∴S_n=

n

i=1

a

2 i

=

1

4-3

+

1

4×2-3

+

1

4×3-3

+…+

1

4n-3

令 g（n）=S_2n+1-S_n，
而g（n）-g（n+1）
=

a

2 n+1

-

a

2 2n+2

-

a

2 2n+3

=

1

4n+1

-

1

8n+5

-

1

8n+9

＞0，
為減數(shù)列，
所以：S2n+1-Sn≤g(1)=

14

45

≤

t

30

，
而t為正整數(shù)，所以，t_min=10．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用數(shù)列的遞推式求通項(xiàng)公式及函數(shù)的恒成立問題，學(xué)會(huì)用不等式處理問題．本題對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，要求學(xué)生理解“存在”、“恒成立”，以及運(yùn)用一般與特殊的關(guān)系進(jìn)行否定，本題有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．