Question

已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓Ω，它的離心率為，一個(gè)焦點(diǎn)和拋物線y²=-4x的焦點(diǎn)重合，過直線l：x=4上一點(diǎn)M引橢圓Ω的兩條切線，切點(diǎn)分別是A，B．
（Ⅰ）求橢圓Ω的方程；
（Ⅱ）若在橢圓上的點(diǎn)（x，y）處的橢圓的切線方程是．求證：直線AB恒過定點(diǎn)C；并出求定點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)λ，使得|AC|+|BC|=λ|AC|•|BC|恒成立？（點(diǎn)C為直線AB恒過的定點(diǎn)）若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為，根據(jù)它的一個(gè)焦點(diǎn)和拋物線y²=-4x的焦點(diǎn)重合，從而求出c值，再求出a和b的值，從而求解；
（Ⅱ）切點(diǎn)坐標(biāo)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l上一點(diǎn)M的坐標(biāo)（4，t），求出切線方程，再把點(diǎn)M代入切線方程，說明點(diǎn)A，B的坐標(biāo)都適合方程，而兩點(diǎn)之間確定唯一的一條直線，從而求出定點(diǎn)；
（Ⅲ）聯(lián)立直線方程和橢圓的方程進(jìn)行聯(lián)立，求出兩根的積和兩根的和，求出|AC|，|BC|的長，求出λ的值看在不在，再進(jìn)行判斷；
解答：解：（I）設(shè)橢圓方程為．
拋物線y²=-4x的焦點(diǎn)是（-1，0），故c=1，又，
所以，
所以所求的橢圓Ω方程為…（4分）
（II）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線l上一點(diǎn)M的坐標(biāo)（4，t）．
則切線方程分別為，．
又兩切線均過點(diǎn)M，
即，
即點(diǎn)A，B的坐標(biāo)都適合方程，而兩點(diǎn)之間確定唯一的一條直線，
故直線AB的方程是，顯然對任意實(shí)數(shù)t，點(diǎn)（1，0）都適合這個(gè)方程，
故直線AB恒過定點(diǎn)C（1，0）．           …（9分）
（III）將直線AB的方程，代入橢圓方程，
得，即
所以
不妨設(shè)y₁＞0，y₂＜0，
同理…（12分）
所以=
即．
故存在實(shí)數(shù)，使得|AC|+|BC|=λ|AC|•|BC|．   …（15分）
點(diǎn)評：此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線方程，第三問是一個(gè)存在性問題，利用了根與系數(shù)的關(guān)系，需要聯(lián)立方程，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，是一道難題；