Question

若函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），[f′（α）]²+[f′（β）]²=0，f（α）+f（β）=0（其中α，β∈R且α≠β），則下列選項(xiàng)中一定是方程f（x）=0的根的是（　　）

• A．-

  b

  3a

• B．-

  b

  2a

• C．

  c

  3a

• D．

  c

  2a

Answer 1

分析：可判α，β為函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，d）中心對(duì)稱(chēng)，可得兩極值點(diǎn)的中點(diǎn)在函數(shù)f（x）的圖象上，結(jié)合韋達(dá)定理可得結(jié)論．

解答：解：∵f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），∴f′（x）=3ax²+2bx+c，
∵[f′（α）]²+[f′（β）]²=0，[f′（α）]²≥0，[f′（β）]²≥0，
∴f′（α）=f′（β）=0，即α，β為一元二次方程f′（x）=3ax²+2bx+c=0的兩根，
即α，β為函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，令g（x）=ax³+bx²+cx，可判g(shù)（x）為奇函數(shù)，
故函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，f（x）可看作g（x）的圖象上下平移得到的，
故f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，d）中心對(duì)稱(chēng)，
故可得兩極值點(diǎn)（α，f（α）），（β，f（β））的中點(diǎn)（

α+β

2

，

f(α)+f(β)

2

）在函數(shù)f（x）的圖象上，
由韋達(dá)定理可得α+β=-

2b

3a

，αβ=

c

3a

，故（-

b

3a

，0）在函數(shù)f（x）的圖象上，
故可得f（-

b

3a

）=0．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的極值點(diǎn)，以及函數(shù)圖象的變換，屬中檔題．