Question

（本題12分）已知⊙O：和定點(diǎn)A(2,1)，⊙O外一點(diǎn)向⊙O引切線PQ ,切點(diǎn)為Q ，且滿足．

　(1) 求實(shí)數(shù)間滿足的等量關(guān)系；

　(2) 求線段PQ長(zhǎng)的最小值；

　(3) 若以P為圓心所作的⊙P與⊙O有公共點(diǎn)，         

試求：半徑取最小值時(shí)⊙P的方程．

Answer 1

（本題12分）已知⊙O：和定點(diǎn)A(2,1)，⊙ O外一點(diǎn)向⊙O引切線PQ ,切點(diǎn)為Q ，且滿足．

　(1) 求實(shí)數(shù)間滿足的等量關(guān)系；

　(2) 求線段PQ長(zhǎng)的最小值；

　(3) 若以P為圓心所作的⊙P與⊙O有公共點(diǎn)，         

試求：半徑取最小值時(shí)⊙P的方程．

解：（1）連為切點(diǎn)，，由勾股定理有

又由已知，故.即：.

化簡(jiǎn)得實(shí)數(shù)a、b間滿足的等量關(guān)系為：.   ……………4分

由，得，

=

故當(dāng)時(shí)，即線段PQ長(zhǎng)的最小值為    ………………8分

解法2：由(1)知，點(diǎn)P在直線l：2x + y－3 = 0 上.

∴  | PQ |_min = | PA |_min，即求點(diǎn)A到直線 l的距離.

∴  | PQ |_min =                        

設(shè)⊙P 的半徑為，⊙P與⊙O有公共點(diǎn)，⊙O的半徑為1，

即且.

而，

故當(dāng)時(shí)，此時(shí), ，.

得半徑取最小值時(shí)圓P的方程為………………12分

 解法2：⊙P與⊙O有公共點(diǎn)，⊙ P半徑最小時(shí)為與⊙O外切（取小者）的情形，而這些半徑的最小值為圓心O到直線l的距離減去1，圓心P為過(guò)原點(diǎn)與l垂直的直線l’ 與l

的交點(diǎn)P₀.r = －1 = －1.又  l’：x－2y = 0,

解方程組，得.

 ∴  所求圓方程為.