Question

已知直線l的方程為x=-2，且直線l與x軸交于點M，圓O：x²+y²=1與x軸交于A，B兩點．
（1）過M點的直線l₁交圓于P、Q兩點，且圓孤PQ恰為圓周的

1

4

，求直線l₁的方程；
（2）求以l為準(zhǔn)線，中心在原點，且與圓O恰有兩個公共點的橢圓方程；
（3）過M點作直線l₂與圓相切于點N，設(shè)（2）中橢圓的兩個焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，求三角形△NF₁F₂面積．

Answer 1

分析：（1）由PQ為圓周的

1

4

，知∠POQ=

π

2

．所以O(shè)點到直線l₁的距離為

2

2

，由此能求出l₁的方程．
（2）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，半焦距為c，則

a2

c

=2．由橢圓與圓O恰有兩個不同的公共點，則a=1或b=1．由此能求出所求橢圓方程．
（3）設(shè)切點為N，則由題意得，在Rt△MON中，MO=2，ON=1，則∠NMO=30°，N點的坐標(biāo)為(-

1

2

，

3

2

)，由此能求出三角形△NF₁F₂面積．

解答：解：（1）∵PQ為圓周的

1

4

，∴∠POQ=

π

2

．∴O點到直線l₁的距離為

2

2

．----（2分）
設(shè)l₁的方程為y=k（x+2），∴

|2k|

k2+1

=

2

2

，∴k2=

1

7

．∴l(xiāng)₁的方程為y=±

7

7

(x+2)．---（5分）
（2）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，半焦距為c，則

a2

c

=2．∵橢圓與圓O恰有兩個不同的公共點，則a=1或b=1．-（6分）
當(dāng)a=1時，c=

1

2

，b2=a2-c2=

3

4

，∴所求橢圓方程為x2+

4y2

3

=1；--（8分）
當(dāng)b=1時，b²+c²=2c，∴c=1，∴a²=b²+c²=2．
所求橢圓方程為

x2

2

+y2=1．---（10分）
（3）設(shè)切點為N，則由題意得，在Rt△MON中，MO=2，ON=1，則∠NMO=30°，
N點的坐標(biāo)為(-

1

2

，

3

2

)，---（11分）

若橢圓為

x2

2

+y2=1．其焦點F₁，F(xiàn)₂
分別為點A，B故S△NF1F2=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

，--（13分）
若橢圓為x2+

4y2

3

=1，其焦點為F1(-

1

2

，0)，F2(

1

2

，0)，
此時S△NF1F2=

1

2

×1×

3

2

=

3

4

--（15分）

點評：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．