Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=xcos+a，a∈R.

（I）求曲線y=f（x）在點(diǎn)x=處的切線的斜率；

（II）判斷方程f '（x）=0（f '（x）為f（x）的導(dǎo)數(shù)）在區(qū)間（0，1）內(nèi)的根的個數(shù)，說明理由；

（III）若函數(shù)F（x）=xsinx+cosx+ax在區(qū)間（0，1）內(nèi)有且只有一個極值點(diǎn)，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（I）. （II）1個；（III）-cos1a<0.

【解析】試題分析：（1）取出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，可得在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，即可得到切線的斜率；

（2）設(shè)，求其導(dǎo)數(shù)，可得當(dāng)時， ，則函數(shù)為減函數(shù)，結(jié)合，可得有且只有一個，使成立，即方程在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個實(shí)數(shù)解；

（3）把函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間內(nèi)有且只有一個零點(diǎn)，且在兩側(cè)異號，然后結(jié)合（2）中的單調(diào)性，列出不等式組，即可求解實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析：

（I）f '（x）=cosx-xsinx·k=f '（）=.

（II）設(shè)g（x）=f '（x），g' （x）=-sinx-（sin x+xcosx）=-2sinx-xcosx.

當(dāng)x∈（0，1）時，g '（x）<0，則函數(shù)g（x）為減函數(shù).

又因?yàn)?/span>g（0）=1>0，g（1）=cos1-sin1<0，

所以有且只有一個x0∈（0，1），使g（x0）=0成立.

所以函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有且只有一個零點(diǎn)，即方程f '（x）=0在區(qū)間（0，1）內(nèi)有且只有一個實(shí)數(shù)根.

（III）若函數(shù)F（x）=xsinx+cosx+ax在區(qū)間（0，1）內(nèi)有且只有一個極值點(diǎn)，由于F '（x）=f（x），即f（x）=xcosx+a在區(qū)間（0，1）內(nèi)有且只有一個零點(diǎn)x1，且f（x）在x1兩側(cè)異號.

因?yàn)楫?dāng)x∈（0，1）時，函數(shù)g（x）為減函數(shù)，所以在（0，x0）上，g（x）>g（x0）=0，即f '（x）>0成立，函數(shù)f（x）為增函數(shù)；

在（x0，1）上，g（x）<g（x0）=0，即f '（x）<0成立，函數(shù)f（x）為減函數(shù).

則函數(shù)f（x）在x=x0處取得極大值f（x0）.

當(dāng)f（x0）=0時，雖然函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有且只有一個零點(diǎn)x0，但f（x）在x0兩側(cè)同號，不滿足F（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有且只有一個極值點(diǎn)的要求.

由于f（1）=a+cos1，f（0）=a，顯然f（1）>f（0）.

若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有且只有一個零點(diǎn)x1，且f（x）在x1兩側(cè)異號，

則只需滿足：

.即，解得-cos1a<0.