Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

ax2+1

bx+c

是奇函數(shù)（a，b，c都是整數(shù)）且f（1）=2，f（2）＜3
（1）求a，b，c的值；
（2）當(dāng)x＜0，f（x）的單調(diào)性如何？用單調(diào)性定義證明你的結(jié)論．
（3）當(dāng)x＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用由f（x）是奇函數(shù)，得f（-x）=f（x）對(duì)定義域內(nèi)x恒成立求c，利用f（1）=2，f（2）＜3求出b的范圍，根據(jù)a，b，c都是整數(shù)求出a、b．
（2）先設(shè)x₁＜x₂≤-1，再作差比較f（x₁），f（x₂）的大小，證明函數(shù)在（-∞，-1]上單調(diào)遞增，在[-1，0）上單調(diào)遞減．
（3）利用基本不等式求函數(shù)的最小值．

解答：解：（1）由f（x）是奇函數(shù)，得f（-x）=f（x）對(duì)定義域內(nèi)x恒成立，
則

a(-x)2+1

b(-x)+c

=-

ax2+1

bx+c

⇒-bx+c=-（bx+c）對(duì)定義域內(nèi)x恒成立，即c=0，
又由f（1）=

a+1

b

=2得a=2b-1
∵f（2）=

4a+1

2b

＜3，∴

2b-3

2b

＜0⇒0＜b＜

3

2

，又a、b、c是整數(shù)，得b=1，a=1．
（2）由（1）知，f（x）=x+

1

x

，當(dāng)x＜0，f（x）在（-∞，-1]上單調(diào)遞增，在[-1，0）上單調(diào)遞減．
下用定義證明之．
設(shè)x₁＜x₂≤-1，則f（x₁）-f（x₂）=x₁+

1

x1

-（x₂+

1

x2

）=（x₁-x₂）+

x2-x1

x1x2

=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

），
∵x₁＜x₂≤-1，x₁-x₂＜0，1-

1

x1x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），故f（x）在（-∞，-1]上單調(diào)遞增；
同理，可證f（x）在[-1，0）上單調(diào)遞減．
（3）f（x）=x+

1

x

，x＞0時(shí)f（x）=x+

1

x

≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取“=”．
故當(dāng)x＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值為2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，考查了用基本不等式求最值，要求熟練掌握用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性．