Question

已知如圖，橢圓方程為

x2

16

+

y2

b2

=1（4＞b＞0）．P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，
F₁、F₂為橢圓的兩焦點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P不在x軸上時(shí)，過(guò)F₁作∠F₁PF₂的外角
平分線的垂線F₁M，垂足為M，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，定義M與P重合．
（1）求M點(diǎn)的軌跡T的方程；
（2）已知O（0，0）、E（2，1），試探究是否存在這樣的點(diǎn)Q：Q是軌跡T內(nèi)部的整點(diǎn)（平面內(nèi)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)），且△OEQ的面積S_△OEQ=2？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）延長(zhǎng)F₁M與F₂P的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)N，連接OM，利用條件求出M是線段NF₁的中點(diǎn)，轉(zhuǎn)化出|OM|=4即可求出M點(diǎn)的軌跡T的方程；
（2）可以先觀察出軌跡T上有兩個(gè)點(diǎn)A（-4，0），B（4，0）滿足S_△OEA=S_△OEB=2，再利用同底等高的兩個(gè)三角形的面積相等，，，知道符合條件的點(diǎn)均在過(guò)A、B作直線OE的兩條平行線l₁、l₂上，再利用點(diǎn)Q是軌跡T內(nèi)部的整點(diǎn)即可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答：解：（1）當(dāng)點(diǎn)P不在x軸上時(shí)，延長(zhǎng)F₁M與F₂P的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)N，連接OM，
∵∠NPM=∠MPF₁，∠NMP=∠PMF₁
∴△PNM≌△PF₁M
∴M是線段NF₁的中點(diǎn)，|PN|=|PF₁||（2分）
∴|OM|=

1

2

|F₂N|=

1

2

（|F₂P|+|PN|）=

1

2

（|F₂P|+|PF₁|）
∵點(diǎn)P在橢圓上
∴|PF₂|+|PF₁|=8∴|OM|=4，（4分）
當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，M與P重合
∴M點(diǎn)的軌跡T的方程為：x²+y²=4²．（6分）

（2）連接OE，易知軌跡T上有兩個(gè)點(diǎn)
A（-4，0），B（4，0）滿足S_△OEA=S_△OEB=2，
分別過(guò)A、B作直線OE的兩條平行線l₁、l₂．
∵同底等高的兩個(gè)三角形的面積相等
∴符合條件的點(diǎn)均在直線l₁、l₂上．（7分）
∵kOE=

1

2

∴直線l₁、l₂的方程分別為：y=

1

2

(x+4)、y=

1

2

(x-4)（8分）
設(shè)點(diǎn)Q（x，y）（x，y∈Z）∵Q在軌跡T內(nèi)，
∴x²+y²＜16（9分）
分別解

x2+y2＜16 y= 1 2 (x+4)

與

x2+y2＜16 y= 1 2 (x-4)

得-4＜x＜2

2

5

與-2

2

5

＜x＜4（11分）
∵x，y∈Z
∴x為偶數(shù)，在(-4，2

2

5

)上x=-2，，0，2對(duì)應(yīng)的y=1，2，3
在(-2

2

5

，4)上x=-2，0，2，對(duì)應(yīng)的y=-3，-2，-1（13分）
∴滿足條件的點(diǎn)Q存在，共有6個(gè)，
它們的坐標(biāo)分別為：（-2，1），（0，2），（2，3），（-2，-3），（0，-2），（2，-1）．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題涉及到軌跡方程的求法．在求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程時(shí)，一般多是利用題中條件得出關(guān)于動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的等式，整理可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．