Question

已知函數(shù)f（x）=

3

2

ax²，g （x）=-6x+ln x³（a≠0）．
（Ⅰ）若函數(shù)h （x）=f （x）-g （x） 有兩個極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)a＞0，使得方程g （x）=x f′（x）-3（2a+1）x  無實(shí)數(shù)解？若存在，求出a的取值范圍？若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）寫出新構(gòu)造的函數(shù)，由已知知道函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，對函數(shù)求導(dǎo)，題目轉(zhuǎn)化成方程有兩個不同的實(shí)根，根據(jù)實(shí)根分布寫出判別式和根與系數(shù)的關(guān)系式，解出a的值．
（II）方程無實(shí)數(shù)解轉(zhuǎn)化為關(guān)于函數(shù)H（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)的零點(diǎn)問題，對函數(shù)求導(dǎo)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到要使H（x）圖象與x軸有無交點(diǎn)，只需函數(shù)的最小值大于0，解出a的值．

解答：解（Ⅰ）∵h(yuǎn)（x）=f（x）-g（x）=

3

2

ax²+6x-3lnx（x＞0），
∴h′（x）=3ax+6-

3

x

．（2分）
∵函數(shù)h（x）有兩個極值點(diǎn)，
∴方程h′（x）=3ax+6-

3

x

=

3(ax2+2x-1)

x

=0，
即ax²+2x-1=0應(yīng)有兩個不同的正數(shù)根，于是

△=22+4a＞0 x1+x2=- 2 a ＞ x1x2=- 1 a ＞0

0
?-1＜a＜0．（6分）
（Ⅱ）方程g（x）=xf′（x）-3（2a+1）x即為-6x+3lnx=3ax²-3（2a+1）x，
等價(jià)于方程ax²+（1-2a）x-lnx=0．
設(shè)H（x）=ax²+（1-2a）x-lnx，轉(zhuǎn)化為關(guān)于函數(shù)H（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)的零點(diǎn)問題（8分）
∵H′（x）=2ax+（1-2a）-

1

x

=

2ax2+(1-2a)x-1

x

=

(2ax+1)(x-1)

x

，
且a＞0，x＞0，則當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，H′（x）＜0，H（x）是減函數(shù)；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，H′（x）＞0，H（x）是增函數(shù)．（10分）
因?yàn)閤→0（或者x→+∞）時(shí)，H（x）→+∞，
∴要使H（x）圖象與x軸有無交點(diǎn)，只需
H（x）_min=H（1）=a+（1-2a）=1-a＞0，結(jié)合a＞0得0＜a＜1，為所求．（12分）
答：（I）要求的a的取值范圍是（-1，0）
（II）使得方程無實(shí)數(shù)解的a的取值是（0，1）

點(diǎn)評：解決本題時(shí)要注意題目中所應(yīng)用的函數(shù)的思想，要使的函數(shù)與橫軸無有交點(diǎn)，只要使得函數(shù)的最小值大于0即可，這種思想經(jīng)常用到．