Question

已知函數(shù)f(x)=lnx-

1

2

ax2+(a-1)x（a∈R且a≠0）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ） 記函數(shù)y=F（x）的圖象為曲線C．設(shè)點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲線C上的不同兩點，如果在曲線C上存在點M（x₀，y₀），使得：①x0=

x1+x2

2

；②曲線C在M處的切線平行于直線AB，則稱函數(shù)F（x）存在“中值相依切線”．
試問：函數(shù)f（x）是否存在“中值相依切線”，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義求得函數(shù)的定義域，再根據(jù)f（x）的解析式求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，然后分別令導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0得到關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即可得到相應(yīng)的x的范圍即分別為函數(shù)的遞增和遞減區(qū)間；
（II）假設(shè)函數(shù)f（x）的圖象上存在兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使得AB存在“中值相依切線”，根據(jù)斜率公式求出直線AB的斜率，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出直線AB的斜率，它們相等，再通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值即可證明結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞）．…（1分）
由已知得，f′(x)=

1

x

-ax+a-1=-

a(x-1)(x+ 1 a )

x

．…（2分）
（1）當(dāng)a＞0時，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1； 令f'（x）＜0，解得x＞1．
所以函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減．…（3分）
（2）當(dāng)a＜0時，
①當(dāng)-

1

a

＜1時，即a＜-1時，令f'（x）＞0，解得0＜x＜-

1

a

或x＞1；
令f'（x）＜0，解得-

1

a

＜x＜1．
所以，函數(shù)f（x）在(0，-

1

a

)和（1，+∞）上單調(diào)遞增，在(-

1

a

，1)上單調(diào)遞減；…（4分）
②當(dāng)-

1

a

=1時，即a=-1時，顯然，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增； …（5分）
③當(dāng)-

1

a

＞1時，即-1＜a＜0時，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1或x＞-

1

a

；
令f'（x）＜0，解得1＜x＜-

1

a

．
所以，函數(shù)f（x）在（0，1）和(-

1

a

，+∞)上單調(diào)遞增，在(1，-

1

a

)上單調(diào)遞減．…（6分）
綜上所述，（1）當(dāng)a＞0時，函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減；
（2）當(dāng)a＜-1時，函數(shù)f（x）在(0，-

1

a

)和（1，+∞）上單調(diào)遞增，在(-

1

a

，1)上單調(diào)遞減；
（3）當(dāng)a=-1時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（4）當(dāng)-1＜a＜0時，函數(shù)f（x）在（0，1）和(-

1

a

，+∞)上單調(diào)遞增，在(1，-

1

a

)上單調(diào)遞減．…（7分） 
（Ⅱ）假設(shè)函數(shù)f（x）存在“中值相依切線”．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲線y=f（x）上的不同兩點，且0＜x₁＜x₂，
則y1=lnx1-

1

2

ax12+(a-1)x1，y2=lnx2-

1

2

ax22+(a-1)x2．
kAB=

y2-y1

x2-x1

=

(lnx2-lnx1)- 1 2 a(x22-x12)+(a-1)(x2-x1)

x2-x1

=

lnx2-lnx1

x2-x1

-

1

2

a(x1+x2)+(a-1)…（8分）
曲線在點M（x₀，y₀）處的切線斜率k=f'（x₀）=f′(

x1+x2

2

)=

2

x1+x2

-a•

x1+x2

2

+(a-1)，…（9分）
依題意得：

lnx2-lnx1

x2-x1

-

1

2

a(x1+x2)+(a-1)=

2

x1+x2

-a•

x1+x2

2

+(a-1)．
化簡可得：

lnx2-lnx1

x2-x1

=

2

x1+x2

，
即ln

x2

x1

=

2(x2-x1)

x2+x1

=

2( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

．…（11分）
設(shè)

x2

x1

=t（t＞1），上式化為：lnt=

2(t-1)

t+1

=2-

4

t+1

，
即lnt+

4

t+1

=2．…（12分）
令g(t)=lnt+

4

t+1

，g′(t)=

1

t

-

4

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

．
因為t＞1，顯然g'（t）＞0，所以g（t）在（1，+∞）上遞增，
顯然有g(shù)（t）＞2恒成立．
所以在（1，+∞）內(nèi)不存在t，使得lnt+

4

t+1

=2成立．
綜上所述，假設(shè)不成立．所以，函數(shù)f（x）不存在“中值相依切線”．…（14分）

點評：此題考查學(xué)生會利用導(dǎo)函數(shù)的正負求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，靈活運用中點坐標公式化簡求值，掌握反證法進行命題證明的方法，是一道綜合題，屬難題．