Question

（2011•惠州模擬）已知數列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n=2a_n-1，等差數列{b_n}滿足b₁=a₁，b₄=S₃．
（1）求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）設cn=

1

bnbn+1

，數列{c_n}的前n項和為T_n，問T_n＞

1001

2012

的最小正整數n是多少？

Answer 1

分析：（1）利用n=1時，a₁=S₁，可求a₁，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，可得數列{a_n}是以a₁=1為首項，2為公比的等比數列，可求數列{a_n}的通項公式，利用等差數列{b_n}滿足b₁=a₁，b₄=S₃，可求{b_n}的通項公式；
（2）利用裂項法求數列的和，結合T_n＞

1001

2012

，可求最小正整數n的值．

解答：解：（1）當n=1時，a₁=S₁=2a₁-1，∴a₁=1…（1分）
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-1）-（2a_n-1-1）=2a_n-2a_n-1，
即 

an

an-1

=2…（3分）
∴數列{a_n}是以a₁=1為首項，2為公比的等比數列，
∴an=2n-1，Sn=2n-1…（5分）
設{b_n}的公差為d，b₁=a₁=1，b₄=1+3d=7，∴d=2
∴b_n=1+（n-1）×2=2n-1…（8分）
（2）cn=

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)…（10分）
∴Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

…（12分）
由T_n＞

1001

2012

，得

n

2n+1

＞

1001

2012

，解得n＞100.1
∴T_n＞

1001

2012

的最小正整數n是101…（14分）

點評：本題考查數列的通項與求和，考查裂項法的運用，掌握數列通項的特點，選擇正確的求和方法是關鍵．