如圖，在三棱柱
中，所有的棱長都為2，
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）當三棱柱的體積最大時，求平面
與平面
所成的銳角的
余弦值。
（Ⅰ）證明：取
的中點
，連接
，
在三棱柱
中，
所有棱長都為2，
則
，……2分
所以
平面
而
平面，
∴
……………………4分
（Ⅱ）解法一：當三棱柱的體積最大時，點
到平面
的距離最大，
此時
平面. ……………………6分
設(shè)平面與平面
的交線為
，
在三棱柱中，
，
平面，
∴， ……………………8分
過點作
交于點
，連接
.由，知
平面
，
∴，故
為平面與平面所成二面角的平面角�！�10分
在
中，
,則
在
中，
，
,
…12分即平面與平面所成銳角的余弦值為
。
解法二：當三棱柱的體積最大時，點到平面的距離最大，此時
平面.以
所在的直線分別為
軸，建立直角坐標系，依題
意得
.
由
得
，設(shè)平面的一個法向量為
而
，
則
，
取
………………10分
∵平面，
∴平面的一個法向量為
∴
，
故平面與平面所成銳角的1余弦值為。 ……………………12分
口算題卡加應(yīng)用題集訓(xùn)系列答案
綜合自測系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
（09年濟寧質(zhì)檢一理）（12分）
如圖，在三棱柱
中，所有的棱長都為2，
.
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）當三棱柱的體積最大時，求平面
與平面
所成的銳角的余弦值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年浙江省桐鄉(xiāng)市高三模擬考試（2月）文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題
如圖，在三棱柱
中， 
，
，
，點
是
的中點，
.
（Ⅰ）求證：
∥平面
；
（Ⅱ）設(shè)點
在線段
上，
，且使直線
和平面
所成的角的正弦值為
，求
的值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年浙江省高三第一次月考理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題
（本題滿分14分 ）如圖，在三棱柱
中，所有的棱長都為2，
.
（1）求證：
；
（2）當三棱柱的體積最大時，
求平面
與平面
所成的銳角的余弦值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年浙江省杭州市七校高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)理卷 題型：填空題
如圖，在三棱柱
中，
，
，
平面
，則
與平面
所成角的大小為 ▲ ；
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中,
是等邊三角形，
面ABC，已知
，
在棱
上，且
，則
與平面
所成的角為（ ）
B．
C．
D．