Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=

1

2

，（1+a_n+1）（1-a_n）=2，則a₂₀₁₄=

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：把給出的數(shù)列遞推式變形，得到an+1=

1+an

1-an

，結(jié)合a₁=

1

2

依次求出a₂，a₃，a₄，a₅，可以得到數(shù)列的項以4為周期周期出現(xiàn)，則答案可求．

解答： 解：由（1+a_n+1）（1-a_n）=2，得：
an+1=

2

1-an

-1=

1+an

1-an

，
∵a₁=

1

2

，
∴a2=

1+ 1 2

1- 1 2

=3，
a3=

1+3

1-3

=-2，
a4=

1-2

1+2

=-

1

3

，
a5=

1- 1 3

1+ 1 3

=

1

2

，
…
由上可知，數(shù)列{a_n}中的項以4為周期周期出現(xiàn)，
∴a₂₀₁₄=a_503×4+2=a₂=3．
故答案為：3．

點評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，解答的關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)和求出數(shù)列的周期，是中檔題．