Question

已知長軸在x軸上的橢圓的離心率e=

6

3

，且過點(diǎn)P（1，1）．
（1）求橢圓的方程；
（2）若點(diǎn)A（x₀，y₀）為圓x²+y²=1上任一點(diǎn)，過點(diǎn)A作圓的切線交橢圓于B，C兩點(diǎn)，求證：CO⊥OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

Answer 1

（1）由題意，設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
∵e=

6

3

，∴

a2-b2

a2

=

2

3

，∴a²=3b²
∵橢圓過點(diǎn)P（1，1），∴

1

a2

+

1

b2

=1
∴a²=4，b2=

4

3

∴橢圓的方程為

x2

4

+

3y2

4

=1；
（2）證明：由題意可求得切線方程為x₀x+y₀y=1
①若y₀=0，則切線為x=1（或x=-1），則B（1，1），C（1，-1），∴CO⊥OB（當(dāng)x=-1時(shí)同理可得）；
②當(dāng)y₀≠0時(shí)，切線方程為x₀x+y₀y=1，與橢圓聯(lián)立并化簡得(3x02+y02)x2-6x0x+3-4y02=0
∴x₁+x₂=

6x0

3x02+y02

，x1x2=

3-4y02

3x02+y02

設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則x₁x₂+y₁y₂=(1+

x02

y02

)x1x2-

x0

y02

(x1+x2)+

1

y02

=(1+

x02

y02

)×

3-4y02

3x02+y02

-

x0

y02

×

6x0

3x02+y02

+

1

y02

=0
∴CO⊥OB