Question

矩形ABCD中，AB=2，AD=

3

，H是AB中點，以H為直角頂點作矩形的內接直角三角形HEF，其中E，F(xiàn)分別落在線段BC和線段AD上，如圖．記∠BHE為θ，記Rt△EHF的周長為l．
（1）試將l表示為θ的函數(shù)；
（2）求l的最小值及此時的θ．

Answer 1

分析：（1）利用EHF是直角三角形，求得∠AFH，進而利用H是AB中點分別求得FH，EH，進而求得

sinθ+cosθ+1

sinθ•cosθ

=1，進而推斷出當F與D重合時，θ取到最小值，當E與C重合時，θ取到最大值，進而求得l的函數(shù)解析式及定義域．
（2）sinθ+cosθ=t，代入l的解析式中，利用θ的范圍判斷出t的范圍，進而求得l的最小值和此時θ的值．

解答：解：（1）∵△EHF是直角三角形，∠BHE=θ，
∴∠AFH=θ，∵AB=2，H是AB中點，
∴AH=FHsinθ=1，F(xiàn)H=

1

sinθ

，同理EH=

1

cosθ

，
∴l(xiāng)=FH+EH+EF=

1

sinθ

+

1

cosθ

+

sinθ	2

+(

1

cosθ

)2)=

sinθ+cosθ+1

sinθ•cosθ

，
當F與D重合時，θ取到最小值

π

6

，當E與C重合時，θ取到最大值

π

3

，
∴θ∈[

π

6

，

π

3

]，∴l(xiāng)=

sinθ+cosθ+1

sinθ•cosθ

（θ∈[

π

6

，

π

3

]）；
（2）令sinθ+cosθ=t，則sinθcosθ=

t2-1

2

，∴l(xiāng)=

t+1

t2-1 2

=

2

t-1

，
∵θ∈[

π

6

，

π

3

]，∴θ+

π

4

∈[

5π

12

，

7π

12

]，t=

2

sin（θ+

π

4

）∈[

6 + 2

4

，

2

]，
∴當t=

2

時，即θ=

π

4

時，l取到最小值

2

2 -1

=2（

2

+1）．t²

點評：本題主要考查了解三角形的實際應用．涉及了通過三角函數(shù)的數(shù)學模型解決實際問題的問題．