Question

（本小題滿分16分）

對(duì)于函數(shù)，如果是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，那么也是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，則稱(chēng)函數(shù)為“保三角形函數(shù)”．

對(duì)于函數(shù)，如果是任意的非負(fù)實(shí)數(shù)，都有是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，則稱(chēng)函數(shù)為“恒三角形函數(shù)”．

（Ⅰ）判斷三個(gè)函數(shù)“（定義域均為）”中，哪些是“保三角形函數(shù)”？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（Ⅱ）若函數(shù)是“恒三角形函數(shù)”，試求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）如果函數(shù)是定義在上的周期函數(shù)，且值域也為，試證明：既不是“恒三角形函數(shù)”，也不是“保三角形函數(shù)”.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）略

（Ⅱ）k的取值范圍是

（Ⅲ）略

【解析】．解：（I）對(duì)于上是增函數(shù)，不妨設(shè)

對(duì)于上是增函數(shù)，不妨設(shè)

則

所以

故是“保三角形函數(shù)”   ………………4分

對(duì)于是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，

但因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052321071720316871/SYS201205232108487343357677_DA.files/image010.png">，

所以不是三角形的三邊長(zhǎng)，故

不是“保三角形函數(shù)”  ………………6分

   （II）法一：

①當(dāng)，適量題意  ………………8分

②當(dāng)

所以

 …………9分

③當(dāng)

所以

從而當(dāng)

由

綜上所述，所求k的取值范圍是  ………………11分

法二：

，

①當(dāng)適合題意；

②當(dāng)上遞增，在上遞減，而

③當(dāng)上遞增，而

且當(dāng)

   （以下同法一，按此方法求解的，類(lèi)似給分）

   （III）①因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052321071720316871/SYS201205232108487343357677_DA.files/image032.png">，

使得顯然這樣的不是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，

故不是“恒三角形函數(shù)”  ………………13分

②因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052321071720316871/SYS201205232108487343357677_DA.files/image036.png">，令，

且

所以是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，但因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052321071720316871/SYS201205232108487343357677_DA.files/image040.png">

不是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，

故也不是“保三角形函數(shù)”  ………………16分

   （說(shuō)明：也可以先證不是“保三角形函數(shù)”，然后據(jù)此知也不是“恒三角形函數(shù)”）