已知數(shù)列
滿足
．
（1）證明數(shù)列
為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；
（2）若數(shù)列
滿足
．證明：數(shù)列是等差數(shù)列．
（3）證明：
．
（1）
；（2）詳見解析；（3）詳見解析.
解析試題分析：（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列，就是證明
為一個常數(shù). 因為
,所以
，所以,
是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列. 則
,即,
；（2）證明數(shù)列是等差數(shù)列，就是要證明
為一個常數(shù)．首先化簡等式，即
，所以
，這實質(zhì)是
，因此作差消去
得：
，再作差消去常數(shù)得：
，
，即
；（3）證明數(shù)列不等式，一般有兩個思路，一是求和，二是放縮.本題由于通項
不適宜求和，所以嘗試放縮，即利用變量分離進(jìn)行放縮，由
，得.
試題解析：（1）因為,所以
,且
,
所以,是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列. 2分
則,即,. 3分
（2）因為
所以. 4分
所以 ①
② 6分
②-①,得
即 ③ 
④ 8分
④-③,得
,
即
得, 10分
所以數(shù)列為等差數(shù)列.
(3）因為
,
11分
所以. 12分
考點：用定義證明等差數(shù)列、等比數(shù)列，放縮法證明數(shù)列不等式
新活力總動員暑系列答案
龍人圖書快樂假期暑假作業(yè)鄭州大學(xué)出版社系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知函數(shù)f(x)＝
，數(shù)列{an}滿足：2an＋1－2an＋an＋1an＝0且an≠0．?dāng)?shù)列{bn}中，b1＝f(0)且bn＝f(an－1)．
(1)求證：數(shù)列
是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列{|bn|}的前n項和Tn．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知數(shù)列
，
滿足
，
，
，
．
（1）求證：數(shù)列
是等差數(shù)列，并求數(shù)列
的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列
滿足
，對于任意給定的正整數(shù)
，是否存在正整數(shù)
，
(
)，使得
，
，
成等差數(shù)列？若存在，試用
表示，
；若不存在，說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
一個三角形數(shù)表按如下方式構(gòu)成（如圖：其中項數(shù)
）：第一行是以4為首項，4為公差的等差數(shù)列，從第二行起，每一個數(shù)是其肩上兩個數(shù)的和，例如：
；
為數(shù)表中第
行的第
個數(shù)．
求第2行和第3行的通項公式
和
；
證明：數(shù)表中除最后2行外每一行的數(shù)都依次成等差數(shù)列，并求
關(guān)于（
）的表達(dá)式；
（3）若
，
，試求一個等比數(shù)列
，使得
，且對于任意的
，均存在實數(shù)
?，當(dāng)
時，都有
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知數(shù)列
滿足
（
為常數(shù)，
）
（１）當(dāng)
時，求
；
（２）當(dāng)
時，求
的值；
（3）問：使
恒成立的常數(shù)是否存在？并證明你的結(jié)論．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知數(shù)列
中，
，對任意的
，
、
、
成等比數(shù)列，公比為
；、、
成等差數(shù)列，公差為
，且
．
（1）寫出數(shù)列的前四項；
（2）設(shè)
，求數(shù)列
的通項公式；
（3）求數(shù)列
的前
項和
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
正實數(shù)數(shù)列{an}中,a1=1,a2=5,且{
}成等差數(shù)列.
(1)證明:數(shù)列{an}中有無窮多項為無理數(shù);
(2)當(dāng)n為何值時,an為整數(shù)?并求出使an<200的所有整數(shù)項的和.
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中，
中，已知
，
（
.
是等差數(shù)列；
的通項公式
及它的前
項和
.